【LOJ#6029】市场（线段树）

【LOJ#6029】市场（线段树）

题面

LOJ

题解

看着就是一个需要势能分析的线段树。

不难发现就是把第二个整除操作化为减法。

考虑一下什么时候整除操作才能变成减法。

假设两个数为\(a,b\)。那么就有\(\displaystyle a-[\frac{a}{d}]=b-[\frac{b}{d}]\)。

那么假设\(a,b\)整除的结果分别为\(aa,bb\)。\(a=d*aa+p_a,b=d*bb+p_b\)

得到：\(\displaystyle (d-1)aa+p_a=(d-1)bb+p_b\)

化简后得到：\(\displaystyle (d-1)(aa-bb)=p_b-p_a\)

显然\(p_a,p_b\)的取值范围就是\([0,d)\)，而左边还乘了一个\(d-1\)。也就意味着这个限制是非常强的，假设\(aa>bb\)(等于就必定相等了，没什么好考虑的)，那么\(p_b-p_b\in[0,d)\)。左边显然只能取\(1\)，右边显然只能去\(d-1\)。写出来就是：\(a=d*aa,b=d*(aa-1)+d-1\)。所以我们得到\(a-b=1\)。

因此维护区间最大值和最小值，如果最大值和最小值整除操作之后的差相等，那么可以变为区间减法。否则暴力下放。

至于复杂度？听\(zsy\)口胡了一下他的分析。单独考虑一个线段树节点，它最多被暴力访问\(loga\)次。如果区间加法则重置这个\(log\)。而每次区间加法最多影响\(logn\)个区间，也就是会重置\(logn\)个区间的访问次数。而\(m\)次操作最多重置\(mlogn\)个区间，因此最多增加访问次数是\(loga\)次。所以总的复杂度就是\(O((n+mlogn)loga)\)。

感觉很对的样子。

注意一下负数的向下取整。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 100100
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
struct Node{ll v;int mn,mx,tag;}t[MAX<<2];
void pushup(int now)
{
	t[now].mn=min(t[lson].mn,t[rson].mn);
	t[now].mx=max(t[lson].mx,t[rson].mx);
	t[now].v=t[lson].v+t[rson].v;
}
void Build(int now,int l,int r)
{
	if(l==r){t[now].v=t[now].mn=t[now].mx=read();return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);
	pushup(now);
}
void puttag(int now,int l,int r,int w)
{
	t[now].v+=(r-l+1)*w;
	t[now].tag+=w;t[now].mn+=w;t[now].mx+=w;
}
void pushdown(int now,int l,int r)
{
	if(!t[now].tag)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	puttag(lson,l,mid,t[now].tag);
	puttag(rson,mid+1,r,t[now].tag);
	t[now].tag=0;
}
void Modify(int now,int l,int r,int L,int R,int w)
{
	if(L<=l&&r<=R){puttag(now,l,r,w);return;}
	int mid=(l+r)>>1;pushdown(now,l,r);
	if(L<=mid)Modify(lson,l,mid,L,R,w);
	if(R>mid)Modify(rson,mid+1,r,L,R,w);
	pushup(now);
}
int Div(int a,int d)
{
	if(a>=0)return a/d-a;
	if(a%d==0)return a/d-a;
	return a/d-1-a;
}
void ModifyDiv(int now,int l,int r,int L,int R,int d)
{
	if(L<=l&&r<=R)
		if(Div(t[now].mx,d)==Div(t[now].mn,d))
		{puttag(now,l,r,Div(t[now].mx,d));return;}
	int mid=(l+r)>>1;pushdown(now,l,r);
	if(L<=mid)ModifyDiv(lson,l,mid,L,R,d);
	if(R>mid)ModifyDiv(rson,mid+1,r,L,R,d);
	pushup(now);
}
ll Query(int now,int l,int r,int L,int R)
{
	if(L<=l&&r<=R)return t[now].v;
	int mid=(l+r)>>1;pushdown(now,l,r);
	ll ret=0;
	if(L<=mid)ret+=Query(lson,l,mid,L,R);
	if(R>mid)ret+=Query(rson,mid+1,r,L,R);
	return ret;
}
int Querymn(int now,int l,int r,int L,int R)
{
	if(L==l&&r==R)return t[now].mn;
	int mid=(l+r)>>1;pushdown(now,l,r);
	if(R<=mid)return Querymn(lson,l,mid,L,R);
	if(L>mid)return Querymn(rson,mid+1,r,L,R);
	return min(Querymn(lson,l,mid,L,mid),Querymn(rson,mid+1,r,mid+1,R));
}
int n,Q;
int main()
{
	n=read();Q=read();
	Build(1,1,n);
	while(Q--)
	{
		int opt=read(),l=read()+1,r=read()+1;
		if(opt==1)Modify(1,1,n,l,r,read());
		if(opt==2)ModifyDiv(1,1,n,l,r,read());
		if(opt==3)printf("%d\n",Querymn(1,1,n,l,r));
		if(opt==4)printf("%lld\n",Query(1,1,n,l,r));
	}
	return 0;
}