Codeforces Round #523 (Div. 2) C Multiplicity (DP)

传送门

https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/10005351.html

题意：

　　给定一数组a[]，从a[ ]中除去任意个元素得到b[ ]，求能形成多少“好序列”；

　　好序列的定义是：对于任意的 i 有 b[i]%i == 0（1 ≤ i ≤ size_b[ ]）。

题解：

　　相关变量解释：

 int n;
 int a[maxn];
 int dp[maxn];//dp[i] : 下标i处可以获得的最大的"好序列"
 int factor[maxn];//factor[i] : 记录a[i]的因子

　　步骤：

　　　(1):从a[1]开始遍历整个数组;

　　　(2):来到a[i]处，将a[i]因式分解，找到其所有的因子factor，并判断其是否在[1,i ]范围内，如果在dp[factor] += dp[factor-1];(对于所有的factor)

具体看代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 const int MOD=1e9+;
 const int maxn=1e5+;

 int n;
 int a[maxn];
 int dp[maxn];//dp[i] : 下标i处可以获得的最大的"好序列"
 int factor[maxn];//factor[i] : 记录a[i]的因子

 void updataDp(int i)
 {
     int index=;
     for(int j=;j*j <= a[i];++j)
     {
         if(a[i]%j == )//判断j是否为a[i]的因子
         {
             factor[index++]=j;//记录a[i]的因子
             if(a[i]/j != j && a[i]/j <= i)//判断其另一个因子a[i]/j是否 <= i，并判断其是否等于 j
                 factor[index++]=a[i]/j;
         }
     }
     sort(factor+,factor+index);
     for(int j=index-;j >= ;--j)//从大因子到小因子，防止a[i]的小因子影响大因子
     {
         int x=factor[j];
         dp[x] += dp[x-];
         dp[x] %= MOD;
     }
 }
 int Solve()
 {
     mem(dp,);
     dp[]=;
     for(int i=;i <= n;++i)//遍历a[]
         updataDp(i);//由a[i]更新dp[]

     int res=;
     for(int i=;i <= n;++i)
         res=res%MOD+dp[i];

     return res%MOD;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i <= n;++i)
         scanf("%d",a+i);
     printf("%d\n",Solve());
 }

　　AC前的错误代码分析：

 void updataDp(int i)
 {
     for(int j=;j < i;++j)
         if(a[i]%(j+) == )
             dp[j+] += dp[j],dp[j+] %= MOD;
     dp[]++;
 }

　　　①:从小因子到大因子更新dp[ ],在第五组数据就wa了　

　　　　　　根据dp定义，dp[ i ]指的是当前元素a[i]在去点其之前的若干个元素后可以形成的“好序列”个数，终点是“其之前”，如果从小因子到大因子更新dp[ ]，

　　　　dp[bigFactor] += dp[bigFactor-1];如果bigFactor-1是a[i]的因子，那么这个因子就会给dp[bigFactor]做贡献，而实际是不需要。

　　　②:查找a[i]的因子是从1遍历到i，在第八组数据TLE

　　　　　　此算法的时间复杂度为O(N^2)，当然会TLE了，然后，实在是没辙了，就去翻了翻大佬博客，发现这篇博客上使用vector存储的a[i]的所有因子，在

　　　　查找a[ i ]的所有因子时的时间复杂度是sqrt(n)，当我看到sort排序的时候有点纳闷，加个O(nlogn)的排序难道不超时？

　　　　后来仔细想了一下，a[ i ]的所有因子很少(10⁶才49个因子)，所以用sort顶多是O(1)的时间复杂度，而整体时间复杂度为O(n√n)，当然就轻轻松松的A掉了......