用二分法定义平方根函数（Bisection method Square Root Python)

Python里面有内置（Built-in）的平方根函数：sqrt()，可以方便计算正数的平方根。那么，如果要自己定义一个sqrt函数，该怎么解决呢？

解决思路：

 1. 大于等于1的正数n的方根，范围肯定在0~n之间；小于1的正数n的方根，范围肯定在0~1之间

 2. 用二分法（Bisection method, Binary search）从中间开始找n的方根。

 3. 对于大于等于1的正数n，先假设n/2是n的方根，如果n/2的平方大于n，那么说明n的方根在0~n/2之间；如果n/2的平方小于n，说明n的方根在n/2~n之间。以此类推。。

 4. 对于小于1的正数n，先假设0.5是n的方根，方法同上

这样做的好处是，每次都可以去掉一半可能的值。因此，搜索的范围越来越小。

I------------------------I-------------------------I

0                          n/2                            n

举例来说，如果是求8的平方根，那么先假设8的平方根是4；

4的平方是16，16大于8，因此8的平方根范围缩小到0~4之间；

继续假设8的平方根是2，2的平方是4，4小于8，因此8的平方根范围缩小到2~4之间；

继续假设8的平方根是3，3的平方是9，9大于8，因此8的平方根范围缩小到2~3之间；

以此类推。。。

代码如下：

def sqrt_bi(n):
    '''为了方便起见，先假设n为正数'''
    low=0   #设置下限为0
    high=max(n,1)   #设置上限为n和1之中的最大数，即：如果n>=1，那么上限为n；如果n<1，那么上限为1
    guess=(low+high)/2   #先从中间值开始猜
    count=1   #设置猜测次数起始值为1
    while abs(guess**2-n)>0.00000000000000000001 and count<100: #当猜测值的平方和n本身的差值无限接近误差值时，循环才会停止；同时设置猜测次数不超过100次
        if guess**2<n:  #如果猜测值的平方小于n，那么将此设为下限
            low=guess
        else:           #如果猜测值的平方大于n，那么将此设为上限
            high=guess
        guess=(low+high)/2  #根据新的上下限，重新进行猜测
        count+=1    #猜测次数每次增加1
    return guess

* 这里，我将0.00000000000000000001设为epsilon（误差值，epsilon为接近0值的浮点数）。epsilon越接近0，算出的方根值就越精确。

调用此函数试一下，同时与python自带的sqrt函数进行对比：

print(sqrt_bi(8))
import math
print(math.sqrt(8))

运行结果如下：

2.82842712474619
2.8284271247461903

python自带的sqrt函数比sqrt_bi函数还要更精确一些。

参考：麻省理工学院公开课：计算机科学及编程导论 （第5课）