BZOJ 3224 - 普通平衡树 - [Treap][Splay]

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224

Description

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

Input

第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6)

Output

对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

Sample Input

10

1 106465

4 1

1 317721

1 460929

1 644985

1 84185

1 89851

6 81968

1 492737

5 493598

Sample Output

106465

84185

492737

HINT

1.n的数据范围：n<=100000

2.每个数的数据范围：[-2e9,2e9]

题解1：

Treap模板题。

由于普通二叉搜索树容易退化成链状，考虑到在随机数据下产生的BST是趋近平衡树的，因此Treap就是用“随机”来创造平衡条件。

在原来BST的基础上，我们可以对树上所有节点都另外增加一个随机生成的权值 $dat$，迫使整棵BST对于 $dat$ 满足“堆性质”。

在Splay的学习中我们已经知道，右旋zig和左旋zag是不会影响BST的“BST性质”的，而通过zig和zag我们正好又可以达到交换父子节点位置的目的，

因此，我们可以参照二叉堆，如果父子两节点不满足堆性质，则用zig或者zag交换两者位置，从而迫使整棵树满足关于 $dat$ 的“堆性质”。

正是由于这颗二叉树，键值 $key$ 满足BST性质，另一个权值 $dat$ 满足堆性质，因此用单词 tree 和 heap 构成了该数据结构的名称 treap。

AC代码（Treap）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
const int maxn=1e5+;

/******************************** Treap - st ********************************/
int root,nodecnt;
int ch[maxn][];
int key[maxn],dat[maxn];
int cnt[maxn],siz[maxn];
int NewNode(int val)
{
    int x=++nodecnt;
    key[x]=val; dat[x]=rand();
    cnt[x]=siz[x]=;
    ch[x][]=ch[x][]=;
    return x;
}
void Pushup(int x)
{
    siz[x]=siz[ch[x][]]+siz[ch[x][]]+cnt[x];
}
void Init()
{
    root=nodecnt=;
    key[]=dat[]=;
    cnt[]=siz[]=;
    ch[][]=ch[][]=;
}
void Build()
{
    Init();
    NewNode(-INF);
    NewNode(INF);
    ch[root=][]=;
    Pushup(root);
}
void zig(int &x)
{
    int lc=ch[x][];
    ch[x][]=ch[lc][], ch[lc][]=x, x=lc;
    Pushup(ch[x][]), Pushup(x);
}
void zag(int &x)
{
    int rc=ch[x][];
    ch[x][]=ch[rc][], ch[rc][]=x, x=rc;
    Pushup(ch[x][]), Pushup(x);
}
int GetRank(int x,int val)
{
    if(x==) return ;
    if(val==key[x]) return siz[ch[x][]]+;
    if(val<key[x]) return GetRank(ch[x][],val);
    return siz[ch[x][]]+cnt[x]+GetRank(ch[x][],val);
}
int GetKth(int x,int k)
{
    if(x==) return INF;
    if(siz[ch[x][]]>=k) return GetKth(ch[x][],k);
    if(siz[ch[x][]]+cnt[x]>=k) return key[x];
    return GetKth(ch[x][],k-siz[ch[x][]]-cnt[x]);
}
void Insert(int &x,int val)
{
    if(x==)
    {
        x=NewNode(val);
        return;
    }
    if(val==key[x])
    {
        cnt[x]++;
        Pushup(x);
        return;
    }
    else if(val<key[x])
    {
        Insert(ch[x][],val);
        if(dat[x] < dat[ch[x][]]) zig(x);
    }
    else
    {
        Insert(ch[x][],val);
        if(dat[x] < dat[ch[x][]]) zag(x);
    }
    Pushup(x);
}
void Remove(int &x,int val)
{
    if(x==) return;
    if(val==key[x])
    {
        if(cnt[x]>)
        {
            cnt[x]--;
            Pushup(x);
            return;
        }
        if(ch[x][] || ch[x][])
        {
            if(ch[x][]== || dat[ch[x][]] > dat[ch[x][]]) zig(x), Remove(ch[x][],val);
            else zag(x), Remove(ch[x][],val);
            Pushup(x);
        }
        else x=;
        return;
    }
    (val<key[x])?Remove(ch[x][],val):Remove(ch[x][],val);
    Pushup(x);
}
int GetPre(int val)
{
    int ans=; //a[1].val==-INF
    int x=root;
    while(x)
    {
        if(val==key[x])
        {
            if(ch[x][]>)
            {
                x=ch[x][];
                while(ch[x][]>) x=ch[x][];
                ans=x;
            }
            break;
        }
        if(key[x]<val && key[x]>key[ans]) ans=x;
        x=(val<key[x])?ch[x][]:ch[x][];
    }
    return key[ans];
}

int GetNxt(int val)
{
    int ans=; //a[2].val==INF
    int x=root;
    while(x)
    {
        if(val==key[x])
        {
            if(ch[x][]>)
            {
                x=ch[x][];
                while(ch[x][]>) x=ch[x][];
                ans=x;
            }
            break;
        }
        if(key[x]>val && key[x]<key[ans]) ans=x;
        x=(val<key[x])?ch[x][]:ch[x][];
    }
    return key[ans];
}
/******************************** Treap - ed ********************************/

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    Build();
    while(n--)
    {
        int opt,x;
        scanf("%d%d",&opt,&x);
        switch(opt)
        {
        case :
            Insert(root,x);
            break;
        case :
            Remove(root,x);
            break;
        case :
            printf("%d\n",GetRank(root,x)-);
            break;
        case :
            printf("%d\n",GetKth(root,x+));
            break;
        case :
            printf("%d\n",GetPre(x));
            break;
        case :
            printf("%d\n",GetNxt(x));
            break;
        }
    }
}

注：本模板的 $zig(x)$ 和 $zag(x)$ 中 $x$，是旋转前处于父亲节点位置。

题解2：

Splay模板题。

Splay的原理以及实现参考：伸展树（Splay Tree）进阶 - 从原理到实现

AC代码（Splay）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
const int maxn=1e5+;

/******************************** splay - st ********************************/
#define Key_value ch[ch[root][1]][0]
int root,nodecnt;
int par[maxn],ch[maxn][];
int key[maxn],cnt[maxn],siz[maxn];
void NewNode(int &x,int p,int k)
{
    x=++nodecnt;
    par[x]=p;
    ch[x][]=ch[x][]=;
    key[x]=k;
    cnt[x]=siz[x]=;
}
void Pushup(int x)
{
    siz[x]=siz[ch[x][]]+siz[ch[x][]]+cnt[x];
}
void Rotate(int x,int type) //旋转，0为左旋zag，1为右旋zig
{
    int y=par[x];
    ch[y][!type]=ch[x][type]; par[ch[x][type]]=y;
    if(par[y]) ch[par[y]][(ch[par[y]][]==y)]=x;
    par[x]=par[y];
    ch[x][type]=y; par[y]=x;
    Pushup(y); Pushup(x);
}
void Splay(int x,int goal)
{
    while(par[x]!=goal)
    {
        if(par[par[x]]==goal) Rotate(x,ch[par[x]][]==x); //左孩子zig，右孩子zag
        else
        {
            int y=par[x];
            int type=(ch[par[y]][]==y); //type=0，y是右孩子；type=1，y是左孩子
            if(ch[y][type]==x)
            {
                Rotate(x,!type);
                Rotate(x,type);
            }
            else
            {
                Rotate(y,type);
                Rotate(x,type);
            }
        }
    }
    if(goal==) root=x;
}
int GetMin(int x)
{
    while(ch[x][]) x=ch[x][];
    return x;
}
int GetMax(int x)
{
    while(ch[x][]) x=ch[x][];
    return x;
}
void Init() //初始化，前后各加一个空节点
{
    root=nodecnt=;
    par[]=ch[][]=ch[][]=;
    cnt[]=siz[]=;
    key[]=;
    NewNode(root,,-INF); //头部加入一个空位
    NewNode(ch[root][],root,INF); //尾部加入一个空位
    Pushup(ch[root][]);
    Pushup(root);
}

void Insert(int val)
{
    int x=root;
    while()
    {
        if(val==key[x])
        {
            cnt[x]++;
            Pushup(x);
            Splay(x,);
            break;
        }
        int type=val>key[x];
        if(ch[x][type]==)
        {
            NewNode(ch[x][type],x,val);
            Pushup(x);
            Splay(ch[x][type],);
            break;
        }
        else x=ch[x][type];
    }
}
void Delete(int val)
{
    int x=root;
    while(x)
    {
        if(val==key[x])
        {
            if(cnt[x]>)
            {
                cnt[x]--;
                Pushup(x);
                Splay(x,);
                return;
            }
            if(ch[x][] && ch[x][])
            {
                Splay(GetMax(ch[x][]),);
                Splay(GetMin(ch[x][]),root);
                par[Key_value]=; Key_value=;
                Pushup(ch[root][]); Pushup(root);
                return;
            }
            int fa=par[x],type=(ch[fa][]==x);
            if(ch[x][])
            {
                par[ch[x][]]=fa;
                ch[fa][type]=ch[x][];
                Pushup(fa);
                Splay(ch[fa][type],);
                return;
            }
            if(ch[x][])
            {
                par[ch[x][]]=fa;
                ch[fa][type]=ch[x][];
                Pushup(fa);
                Splay(ch[fa][type],);
                return;
            }
            ch[fa][type]=;
            Pushup(fa);
            Splay(fa,);
            return;
        }
        if(val<key[x]) x=ch[x][];
        else x=ch[x][];
    }
}
int GetRank_pos;
int GetRank(int x,int val)
{
    if(x==) return ;
    if(val==key[x]) return siz[ch[GetRank_pos=x][]]+;
    if(val<key[x]) return GetRank(ch[x][],val);
    return siz[ch[x][]]+cnt[x]+GetRank(ch[x][],val);
}
int GetKth_pos;
int GetKth(int x,int k)
{
    if(x==) return ;
    if(siz[ch[x][]]>=k) return GetKth(ch[x][],k);
    if(siz[ch[x][]]+cnt[x]>=k) return key[GetKth_pos=x];
    return GetKth(ch[x][],k-siz[ch[x][]]-cnt[x]);
}
/******************************** splay - ed ********************************/

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    Init();
    while(n--)
    {
        int opt,x;
        scanf("%d%d",&opt,&x);
        switch(opt)
        {
        case :
            Insert(x);
            break;
        case :
            Delete(x);
            break;
        case :
            printf("%d\n",GetRank(root,x)-);
            Splay(GetRank_pos,);
            break;
        case :
            printf("%d\n",GetKth(root,x+));
            Splay(GetKth_pos,);
            break;
        case :
            Insert(x);
            printf("%d\n",key[GetMax(ch[root][])]);
            Delete(x);
            break;
        case :
            Insert(x);
            printf("%d\n",key[GetMin(ch[root][])]);
            Delete(x);
            break;
        }
    }
}