牛客练习赛9 F - 珂朵莉的约数

题目描述

珂朵莉给你一个长为n的序列，有m次查询

每次查询给两个数l,r

设s为区间[l,r]内所有数的乘积

求s的约数个数mod 1000000007

输入描述:

第一行两个正整数n,m
第二行一个长为n的序列
之后m行每行两个数l和r

输出描述:

对于每个询问，输出一个整数表示答案

示例1

输入

5 5
64 2 18 9 100
1 5
2 4
2 3
1 4
3 4

输出

165
15
9
45
10

备注:

对于100%的数据，有n , m <= 100000 , a[i] <= 1000000

题解

莫队算法，质因数分解。

本质就是求区间内每个素因子出现的次数的乘积，可以用莫队来搞。

然后超时了......分析了一波发现每个数最多可以分解成$20$个左右的素因子，也就是莫队增加一个数删除一个数的时候，需要进行$20$个数的修改。

常数有点大。又分析了一波，发现每个数最多只能分解成$7$个素因子，也就是按种类来修改可以减少一些常数。还是超时......

最后看了题解，发现好强啊......：

对每个数进行质因子分解，考虑一个数的约数个数即为其每个质因子出现次数+1的乘积，所以维护这个即可
考虑每个数只有一个大于1000的质数，对这部分进行根号分治
对于小于1000的质因子（只有168个），维护一个前缀和pre[i][j]表示第i个质因子在前j个数中出现次数
对于大于1000的质因子，用莫队维护即可

这样操作，莫队转移复杂度大大降低，小的素因子一波搞就$ok$了。

然后写莫队的时候发现了曾经没有注意到的事情，就是要先进行$add$，然后进行$delete$。不举例了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;
const long long mod = 1000000007LL;
int a[maxn];
int b[maxn];
int sum[maxn][200];
int c[50], g;
int cnt[10 * maxn];

int pos[maxn];
int n, m, L, R;
long long Ans;

struct X {
  int l, r, id;
}s[maxn];
long long ans[maxn];

bool cmp(const X& a, const X& b) {
  if (pos[a.l] != pos[b.l]) return a.l < b.l;
  if((pos[a.l]) & 1) return a.r > b.r;
  return a.r < b.r;
}

bool noprime[10 * maxn];
int prime[10 * maxn], num_prime;
long long inv[20 * maxn];

void init() {
  inv[0] = inv[1] = 1;
  for(long long i = 2; i <= 2000005; i ++) {
    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
  }
  noprime[1] = 1;
  for(int i = 2; i <= 1000000; i ++) {
    if(noprime[i]) continue;
    prime[num_prime ++] = i;
    for(int j = i + i ; j <= 1000000; j = j + i) {
      noprime[j] = 1;
    }
  }
}

void add(int x) {
  if(x == 0) return;
  Ans = Ans * inv[cnt[x] + 1] % mod;
  cnt[x] += 1;
  Ans = Ans * (cnt[x] + 1) % mod;
}

void del(int x) {
  if(x == 0) return;
  Ans = Ans * inv[cnt[x] + 1] % mod;
  cnt[x] -= 1;
  Ans = Ans * (cnt[x] + 1) % mod;
}

int main() {
  init();
  scanf("%d%d", &n, &m);
  int sz = sqrt(n);
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    scanf("%d", &a[i]);
    pos[i] = i / sz;
    int now = 0;
    int tmp = a[i];
    g = 0;
    while(tmp != 1) {
      if(noprime[tmp] == 0) {
        c[g ++] = tmp;
        tmp = 1;
      } else {
        while(tmp % prime[now] == 0) {
          c[g ++] = prime[now];
          tmp = tmp / prime[now];
        }
        now ++;
      }
    }
    for(int j = 0; j < g; j ++) {
      if(c[j] > 1000) {
        b[i] = c[j];
      } else {
        for(int k = 0; k < 200; k ++) {
          if(prime[k] == c[j]) {
            sum[i][k] ++;
          }
        }
      }
    }
  }

  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
    for(int j = 0; j < 200; j ++) {
      sum[i][j] = sum[i][j] + sum[i - 1][j];
    }
  }

  for(int i = 1; i <= m; i ++) {
    scanf("%d%d", &s[i].l, &s[i].r);
    s[i].id = i;
  }
  sort(s + 1, s + m + 1, cmp);

  Ans = 1LL;
  for(int i = s[1].l; i <= s[1].r; i ++) {
    add(b[i]);
  }
  for(int j = 0; j < 200; j ++) {
    Ans = Ans * (sum[s[1].r][j] - sum[s[1].l - 1][j] + 1) % mod;
  }

  ans[s[1].id] = Ans;
  L = s[1].l;
  R = s[1].r;
  for(int i = 2; i <= m; i ++) {
    while (L > s[i].l) { L--, add(b[L]); }
    while (R < s[i].r) { R++, add(b[R]); }
    while (L < s[i].l) { del(b[L]), L++; }
    while (R > s[i].r) { del(b[R]), R--; }

    for(int j = 0; j < 200; j ++) {
      Ans = Ans * inv[sum[s[i - 1].r][j] - sum[s[i - 1].l - 1][j] + 1] % mod;
      Ans = Ans * (sum[s[i].r][j] - sum[s[i].l - 1][j] + 1) % mod;
    }

    ans[s[i].id] = Ans;
  }
  for(int i = 1; i <= m; i ++) {
    printf("%lld\n", ans[i]);
  }
  return 0;
}