背包的第k优解[动态规划]

From easthong ☆背包的第k优解

	描述 Description
		DD 和好朋友们要去爬山啦！他们一共有 K 个人，每个人都会背一个包。这些包的容量是相同的，都是 V。可以装进背包里的一共有 N 种物品，每种物品都有给定的体积和价值。 在 DD 看来，合理的背包安排方案是这样的： 1. 每个人背包里装的物品的总体积恰等于包的容量。   2. 每个包里的每种物品最多只有一件，但两个不同的包中可以存在相同的物品。   3. 任意两个人，他们包里的物品清单不能完全相同。 在满足以上要求的前提下，所有包里的所有物品的总价值最大是多少呢？

	输入格式 Input Format
		第一行有三个整数：K、V、N。 第二行开始的 N 行，每行有两个整数，分别代表这件物品的体积和价值。

	输出格式 Output Format
		只需输出一个整数，即在满足以上要求的前提下所有物品的总价值的最大值。

	样例输入 Sample Input

	样例输出 Sample Output

	时间限制 Time Limitation
		1s

	注释 Hint
		数据范围 总人数 K<=50。 每个背包的容量 V<=5000。 物品种类数 N<=200。 其它正整数都不超过 5000。 输入数据保证存在满足要求的方案。

	来源 Source
		dd 2007 dp 模拟赛

 

慢慢啃

f[j][u]表示空间为j时的第u优解;

 

性质:加了一个u循环操作的01背包,i表示加入第i个物品则循环顺序从外到里为i->j->u(就是把原本f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j])的位置变成u的循环操作而已);

 

初始化: 

f[j][u]=负无穷(u循环操作前要判定f[j-w[i]][1]>=0),f[0][1]=0;

 

u的循环操作:

1.已知f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j]),即f[j]有两种取值方案;

用两个数组st1[u]和st2[u]分别储存f[j-w[i]][u]+v[i]和f[j][u];

2.因为f[j][u]一定优于f[j][u+1],所以st1[u]一定优于st1[u+1],st2[u]同理,所以只需要比较st1和st2中的元素就可以得到当前可以取到的最优值;

所以f[i][u]等于st1[tail1]和st2[tail2]中较大的;

3.因为不能有一样的方案,所以st1[tail1],st2[tail2]中较大的数被f[i][u]取值后,对应的tail++(tail在u循环开始前定义为0或者1);

 

 

随着j的增大,方案数是树状增多的,但是前u个最优方案一定是在这棵树的某一个分支上,这个分支的父节点一定是某一个阶段的最优方案,就像分封制一样,离最后的最优方案血缘关系越远优秀程度越差,嗯我是这么理解的.....

 

因为动态规划每一个阶段的方案只和前一个阶段有关,所以可以在输入数据后直接j循环,不需要v[i]w[i]之类存储每一个状态的数组...

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 int k,v,n;
 long long f[][]={};
 long long st1[]={};
 long long st2[]={};
 int main(){
     cin>>k>>v>>n;
     for(int i=;i<v;i++){
         for(int j=;j<=k;j++){
             f[i][j]=-;
         }
     }
     f[][]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         int a,b;
         cin>>a>>b;
         for(int j=v;j>=a;j--){
             if(f[j-a][]>=){
                 int p1=,p2=;
                 for(int u=;u<=k;u++){
                     st1[u]=f[j-a][u]+b;
                     st2[u]=f[j][u];
                     if(st2[p2]>=st1[p1]) f[j][u]=st2[p2++];
                     else f[j][u]=st1[p1++];
                 }
             }
         }
     }
     long long ans=;
     for(int i=;i<=k;i++){
         ans+=f[v][i];
     }
     cout<<ans<<endl;
     return ;
 }