【BZOJ】3091: 城市旅行 Link-Cut Tree

【题意】参考PoPoQQQ。

给定一棵树，每个点有一个点权，提供四种操作：

1.删除两点之间的连边 不存在边则无视

2.在两点之前连接一条边 两点已经联通则无视

3.在两点之间的路径上所有点的点权加上一个数 两点不连通则无视

4.询问两点之间路径上任选两点路径上的点权和的期望值

【算法】Link-Cut Tree

【题解】第四步操作相当于路径所有区间点权和/区间总数。

假设链有n个点，区间总数就是n*(n+1)/2。假设点权分别为a1~an，则：

$$ans=\sum_{i=1}^{n}a_i*i*(n-i)$$

考虑在Link-Cut Tree上维护左右信息的合并，假设左区间有n个数，右区间有m个数，则合并后左区间贡献变化：

$$\sum_{i=1}^{n}a_i*i*(n-i) \rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i*i*(n-i+m+1)$$

右区间从右往左编号也有此结论，所以对每个点维护lsum=Σa[i]*i，rsum和ans，转移时：

$$ans_{rt}=ans_l+ans_r+lsum_l*(sz_r+1)+rsum_r*(sz_l+1)+num_{rt}*(sz_l+1)*(sz_r+1)$$

最后考虑区间加值，lsum和rsum都是加等差数列，而ans需要加Σi*(n-i)=n(n+1)(n+2)/6，拆分两步就可以推出来了。

复杂度O(n log n)。