【bzoj2142】【礼物】拓展Lucas定理+孙子定理

（上不了p站我要死了，侵权度娘背锅）

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E 
心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人 
，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某 
个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模； 
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数； 
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100 
4 2 
1 
2

Sample Output

12 
【样例说明】 
下面是对样例1的说明。 
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下： 
1/23 1/24 1/34 
2/13 2/14 2/34 
3/12 3/14 3/24 
4/12 4/13 4/23 
【数据规模和约定】 
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。 
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

---

公式是很好想的，设sum=sigma(wi)，则答案为C(n,sum) * C(sum,w1) * C(sum-w1,w2) * … * C(wi,wi)

但是考虑到数据范围，需要用Lucas定理，但是模数确实一个合数，怎么办呢？于是就去学了拓展Lucas定理。

1、 
模数为合数，但可以唯一分解成多个质数的乘积。即M=p1^c1 * p2^c2 * … * pi^ci。分解出来的pi^ci与其他的因数互质，所以可以对每一个pi^ci求出组合数的值，再用孙子定理合并。

2、 
现在问题转化为了如何求解C(n,m) mod pi^ci 
首先C(n,m)可以写成阶乘形式：n!/(m!*(n-m)!) mod pi^ci 
我们发现如果阶乘n!中的n大于pi^ci的话，模下来就是0，没有意义了。所以不能直接用阶乘+逆元来求解。考虑如果能将n!中的所有pi提出来，即将n!分解为 x*pi^ki，这样x部分就和pi^ci完全互质，就可以用逆元来求了。

3、 
问题再转化，如何将 n! 分解为 x * pi^ki，即求出x与ki 
举个例子：20! mod 3^2 
20!=1*2*3*4*…*19*20 
将3的倍数提取出来 
= 1*2*4*…* 17*19*20*(3*6*9..*18) 
=1*2*4*… * 17*19*20* 3^6 * (1*2*3..*6) 
发现括号里的数又是阶乘，且恰好是[n/p]（向下取整），所以递归调用即可。 
对于前面的数：发现是以pi^ci为循环节同余的方程，即(1*2*…pi^ci-1)≡((pi^ci +1)*…(2*pi^ci)) (mod pi^ci)，其中要去掉pi的倍数。这一部分就暴力算出循环节，快速幂。对于循环节之外可能有的数，也是直接暴力算即可。易证循环节长度和剩余部分长度是小于等于pi^ci的。

 void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){
     ll tmp=;
     if(a==) return ;
     for(int j=;j<=min(pic[i],a);j++){
         if(j%pi[i]==) continue;
         tmp=tmp*j%pic[i];
     }
     x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i];
     for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+;j<=a;j++){
         if(j%pi[i]==) continue;
         x=x*j%pic[i];
     }
     k+=a/pi[i];
     get(a/pi[i],i,x,k);
 }

所以现在问题就很清晰啦 
拓展Lucas也没有想象中这么难嘛

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #ifdef WIN32
 #define RIN "%I64d"
 #else
 #define RIN "%lld"
 #endif

 template <typename T>inline void read(T &res){
     T k=,x=;char ch=;
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')k=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
     res=k*x;
 }

 const int N=+;

 ll p,n,m,w[],sum=;
 ll prime[N],cntp=;
 bool notp[N];
 ll pi[N],pic[N],pik[N],cntc=;

 void init(){
     notp[]=;
     for(int i=;i<=;i++){
         if(!notp[i])
             prime[++cntp]=i;
         for(int j=;j<=cntp&&i*prime[j]<=;j++){
             notp[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }
 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
     if(b==){
         x=,y=;return;
     }
     ll x0,y0;
     exgcd(b,a%b,x0,y0);
     x=y0;
     y=x0-(a/b)*y0;
 }
 ll inverse(ll a,ll mod){
     ll x,y;
     exgcd(a,mod,x,y);
     return (x%mod+mod)%mod;
 }
 ll power(ll a,ll b,ll mod){
     ll rt=;
     for(;b;b>>=,a=a*a%mod) if(b&) rt=rt*a%mod;
     return rt;
 }
 void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){
     ll tmp=;
     if(a==) return ;
     for(int j=;j<=min(pic[i],a);j++){
         if(j%pi[i]==) continue;
         tmp=tmp*j%pic[i];
     }
     x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i];
     for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+;j<=a;j++){
         if(j%pi[i]==) continue;
         x=x*j%pic[i];
     }
     k+=a/pi[i];
     get(a/pi[i],i,x,k);
 }
 ll get_C(ll x,ll y,ll i){
     ll x1=,p1=,x2=,p2=,x3=,p3=;
     get(x,i,x1,p1);
     get(y,i,x2,p2);
     get(x-y,i,x3,p3);
     ll rt=;
     rt=x1*inverse(x2,pic[i])%pic[i]*inverse(x3,pic[i])%pic[i];
     rt=rt*power(pi[i],p1-p2-p3,pic[i])%pic[i];
     return rt;
 }
 ll C(ll x,ll y){
     ll a;
     ll rt=;
     for(int i=;i<=cntc;i++){
         a=get_C(x,y,i);
         rt=(rt+a*(p/pic[i])%p*inverse(p/pic[i],pic[i])%p)%p;
     }
     return rt;
 }
 void fenjie_p(){
     ll tmp=p;
     for(int i=;i<=cntp&&tmp!=;i++){
         if(tmp%prime[i]!=) continue;
         pi[++cntc]=prime[i];
         pic[cntc]=,pik[cntc]=;
         while(tmp%prime[i]==){
             pic[cntc]*=prime[i];
             pik[cntc]++;
             tmp/=prime[i];
         }
     }
 }
 int main(){
     init();
     read(p),read(n),read(m);
     for(int i=;i<=m;i++) read(w[i]),sum+=w[i];
     if(sum>n){
         printf("Impossible\n");
         return ;
     }
     ll ans=;
     fenjie_p();
     ans=ans*C(n,sum)%p;
     for(int i=;i<=m;i++){
         ans=ans*C(sum,w[i])%p;
         sum-=w[i];
     }
     printf(RIN"\n",ans);
     return ;
 }