[Contest20180323]King

跳蚤国王要召开第二届内阁会议，所以把所有跳蚤都召集到了会议室。所有跳蚤在会议室的圆桌前坐成了一个圈，从$1$到$n$标号，每人的面前都有一盏明灯。

就在会议就要开始的时候，国王突然发现，并不是所有的灯都点亮了，有强迫症的他绝不会在有灯没有被点亮的时候开始会议。

现在国王要指定一些位置的跳蚤，他会报出这些跳蚤的序号，让他们把面前的灯改变状态。

可是这些跳蚤大臣并不想开会，虽然这些跳蚤必须按照国王的指令形式行事，但是他们会在国王下达指令之后，偷偷转动面前的桌子任意次（转动一次之后本来在$n$号跳蚤面前的灯就在$1$号跳蚤面前了），这样虽然对应序列的跳蚤确实改变了面前的灯的状态，但是会议并不能开始因为灯还没有全部点亮。

国王也知道这一点，所以他很好奇，他有没有一种办法在有限轮之后开始会议呢？

小w向国王毛遂自荐，国王很怀疑小w的能力，所以为了保证数据强度，国王会给小w一个初始的串，每次问小w一个子串是否能在有限轮之后开始会议。

如果区间长度$len=r-l+1$是奇数，并且不全灭或不全亮，那么无解

假设$len=q\cdot2^k$，其中$q$是奇数，把区间按$i\%2^k$分类，每类$q$盏灯，整个区间有解要求每组都有解，也就是每组全灭或全亮，所以如果没有长度为$2^k$的循环节，那么肯定无解

如果有长度为$2^k$的循环节，那么问题转化成只考虑这$2^k$盏灯，下面证明$2^k$盏灯是一定有解的

以下的多项式系数都是模$2$意义下的数（亮or灭），所有多项式运算在模$x^{2^k}-1$意义下进行（循环位移）

先证$x^{2^k}-1=(x-1)^{2^k}$

对$k$归纳，当$k=0$时显然成立

假设$x^{2^{k-1}}-1=(x-1)^{2^{k-1}}$，那么$(x-1)^{2^k}=\left((x-1)^{2^{k-1}}\right)^2=\left(x^{2^{k-1}}-1\right)^2=x^{2^k}-1$

由归纳法，定理得证

如果把这个区间看成多项式$f(x)$（亮灯系数为$1$，灭灯系数为$0$，系数是模$2$意义下的数），把国王的指令看成多项式$g(x)$，那么大臣旋转桌子$d$位后再执行指令可以看做$f'(x)=f(x)\cdot x^d+g(x)$，国王可以取$g(x)=f(x)$，那么$f'(x)=f(x)\left(x^d+1\right)=f(x)(x-1)(x^{d-1}+\cdots+1)$

国王每下一次命令，$f(x)$就会被乘上$(x-1)$，由$(x-1)^{2^k}=x^{2^k}-1$可得最后$f(x)$会变成$0$（被续取模），所以$2^k$盏灯一定有解

#include<stdio.h>
typedef unsigned long long ull;
char s[100010];
ull h[100010],b[100010];
ull get(int l,int r){return h[r]-h[l-1]*b[r-l+1];}
int main(){
	int n,q,i,l,r;
	scanf("%d%d%s",&n,&q,s+1);
	b[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		b[i]=b[i-1]*29ull;
		h[i]=h[i-1]*29ull+(ull)(s[i]-'0');
	}
	while(q--){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		i=r-l+1;
		i&=-i;
		if(l==r||get(l+i,r)==get(l,r-i))
			puts("ephemeral");
		else
			puts("endless");
	}
}