【SNOI2017】炸弹

题目大意

在一条直线上有\(N\)个炸弹，每个炸弹的坐标是\(X_i\)，爆炸半径是 \(R_i\)，

当一个炸弹爆炸时，如果另一个炸弹所在位置\(X_j\)满足：

$ X_i-R_i\leq X_j \leq X_i+R_i $

那么，该炸弹也会被引爆。

现在，请你帮忙计算一下，先把第 iii 个炸弹引爆，将引爆多少个炸弹呢？

\(0\leq N \leq 500000\)，\(-10^{18} \leq X_i \leq 10^{18}\)

题目分析

考试的时候想到的是一个\(n\ log^2n\)的倍增做法。

令\(mi[i][j]\),\(mx[i][j]\)表示引爆第\(i\)个炸弹，连锁反应引爆\(2^j\)次炸弹后爆炸范围的最左端与最右端。

那么由\(2^j\)向\(2^{j+1}\)更新时，我们需要得知目前爆炸范围内其他炸弹的\(mi[i][j]\)的最小值以及\(mx[i][j]\)的最大值。这个可以用\(RMQ\)或者线段树维护。

因此总时间复杂度\(O(n\ log^2n)\)，有点爆炸。

标解是线段树优化建边后，\(tarjan\)缩点+拓扑排序。

\(TLE:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Maxn=500005,mod=1e9+7;
template<class T>
void read(T&x){
	x=0;T f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch!='-'?:f=-1,ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
int n,mx[Maxn][21],mi[Maxn][21],bl[Maxn][2],br[Maxn][2],Lg[Maxn];
ll a[Maxn],r[Maxn],tmp[Maxn];
void Build(int x){
	for(int i=1;i<=n;++i)mi[i][0]=bl[i][x],mx[i][0]=br[i][x];
	for(int j=1;j<=18;++j)
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i){
			mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<j-1)][j-1]);
			mx[i][j]=max(mx[i][j-1],mx[i+(1<<j-1)][j-1]);
		}
}
inline int ask_min(int x,int y){
	int k=Lg[y-x+1];
	return min(mi[x][k],mi[y-(1<<k)+1][k]);
}
inline int ask_max(int x,int y){
	int k=Lg[y-x+1];
	return max(mx[x][k],mx[y-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i]),read(r[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i)tmp[i]=a[i],Lg[i]=log2(i);
	int cur=0,pre=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		a[i]=i;
		bl[i][0]=lower_bound(tmp+1,tmp+n+1,tmp[i]-r[i])-tmp;
		br[i][0]=upper_bound(tmp+1,tmp+n+1,tmp[i]+r[i])-tmp-1;
	}
	for(int j=1;j<=19;++j){
		pre=cur;cur^=1;
		Build(pre);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			bl[i][cur]=ask_min(bl[i][pre],br[i][pre]);
			br[i][cur]=ask_max(bl[i][pre],br[i][pre]);
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ans=(ans+1ll*(br[i][cur]-bl[i][cur]+1)*i)%mod;
	}
	cout<<ans<<"\n";
}

\(AC:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>
void read(T &x){
	x=0;T f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch!='-'?:f=-1,ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
const int Maxn=500005,mod=1e9+7;
typedef long long ll;
int n,Pos[Maxn],h[Maxn*4];
ll a[Maxn],r[Maxn];
struct edge{int to,next;}e[Maxn*20];
void addedge(int x,int y){
	static int cnt;
	e[++cnt]=(edge){y,h[x]};h[x]=cnt;
}
#define ls v<<1
#define rs v<<1|1
int L[Maxn*4],R[Maxn*4],Min[Maxn*4],Max[Maxn*4];
void Build(int v,int l,int r){
	L[v]=l;R[v]=r;
	if(l==r)return Pos[l]=v,void();
	int mid=l+r>>1;
	Build(ls,l,mid);Build(rs,mid+1,r);
	addedge(v,ls);addedge(v,rs);
}
void Insert(int v,int l,int r,int a,int b,int p){
	if(l>b||r<a)return;
	if(a<=l&&r<=b)return addedge(p,v);
	int mid=l+r>>1;
	Insert(ls,l,mid,a,b,p);Insert(rs,mid+1,r,a,b,p);
}
int dfn[Maxn*4],low[Maxn*4],bel[Maxn*4],st[Maxn*4],rd[Maxn*4],top,Scc,Sign;
bool in[Maxn*4];
struct info{int x,i,y;};
void dfs(int x){
	static vector<info>S;
	int i,y;
call:
	dfn[x]=low[x]=++Sign;st[++top]=x;in[x]=1;
	for(i=h[x];i;i=e[i].next){
		y=e[i].to;
		if(!dfn[y]){
			S.push_back((info){x,i,y});
			x=y;goto call;
Return:;
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else if(in[y])low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(low[x]==dfn[x]){
		Scc++;
		Max[Scc]=0;Min[Scc]=n;
		for(;;){
			y=st[top--];in[y]=0;
			Max[Scc]=max(Max[Scc],R[y]);
			Min[Scc]=min(Min[Scc],L[y]);
			bel[y]=Scc;if(y==x)break;
		}
	}
	if(S.size()){x=S.back().x;i=S.back().i;y=S.back().y;S.pop_back();goto Return;}
}
vector<int>G[Maxn*4];
void Topsort(){
	queue<int>Q;
	for(int i=1;i<=Scc;i++)if(!rd[i])Q.push(i);
	while(Q.size()){
		int x=Q.front();Q.pop();
		for(int i=0;i<G[x].size();i++){
			int y=G[x][i];
			if(!--rd[y])Q.push(y);
			Min[y]=min(Min[y],Min[x]);
			Max[y]=max(Max[y],Max[x]);
		}
	}
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),read(r[i]);
	for(int i=1;i<=4*n;i++)L[i]=n+1,R[i]=0;
	Build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		Insert(1,1,n,lower_bound(a+1,a+n+1,a[i]-r[i])-a,upper_bound(a+1,a+n+1,a[i]+r[i])-a-1,Pos[i]);
	}
	for(int i=1;i<=4*n;i++)if(!dfn[i])dfs(i);
	for(int x=1;x<=4*n;x++)
		for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
			int y=e[i].to;
			if(bel[x]!=bel[y]){
				G[bel[y]].push_back(bel[x]);
				rd[bel[x]]++;
			}
		}
	Topsort();
	ll Ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		Ans=(Ans+1ll*i*(Max[bel[Pos[i]]]-Min[bel[Pos[i]]]+1))%mod;
	}
	cout<<Ans<<"\n";
}
/*
4
1 1
5 1
6 5
15 15

*/