ABC206 F - Interval Game 2 （区间DP，博弈论，SG函数）

题面

题意很简单

A

l

i

c

e

\tt Alice

Alice 和

B

o

b

\tt Bob

Bob 在博弈。摆在他们面前有

N

\rm N

N 个区间

[

l

i

,

r

i

)

\rm[l_i,r_i)

[li​,ri​) ，每人轮流取出一个区间，放到数轴上，要求取出的区间与当前数轴上的任意区间交集为

∅

\rm\empty

∅ 。

A

l

i

c

e

\tt Alice

Alice 先手。

T

(

1

≤

T

≤

20

)

\rm T(1\leq T\leq20)

T(1≤T≤20) 组数据，每组数据给出

N

(

1

≤

N

≤

100

)

\rm N(1\leq N\leq100)

N(1≤N≤100) 和每个区间

[

l

i

,

r

i

)

\rm[l_i,r_i)

[li​,ri​)，

1

≤

l

i

<

r

i

≤

100

\rm1\leq l_i<r_i\leq100

1≤li​<ri​≤100 。

对于每组数据输出

A

l

i

c

e

\tt Alice

Alice 必胜还是

B

o

b

\tt Bob

Bob 必胜。

题解

前置知识：SG函数

通过SG定理的学习，我们知道一个游戏先手必败当且仅当SG值为

0

0

0，且多个子游戏同时进行的情况下，总游戏的SG值为每个子游戏SG值的异或和。

---

这道题怎么应用呢？

毫无疑问，

2

N

\rm 2^N

2N 的算法是不行的，那我们怎么表示总游戏的状态呢？

我们表示不出来！但是我们会发现，总游戏可以分成多个互不干扰的子游戏，而每个子游戏是可以用一个区间

[

L

,

R

)

\rm[L,R)

[L,R) 表示状态的！意为左右端点都在

[

L

,

R

)

\rm[L,R)

[L,R) 内的所有区间

[

l

i

,

r

i

)

\rm[l_i,r_i)

[li​,ri​) 组成的子游戏。因为每个子游戏成为无法拆分的一部分时，意味着这个范围内的区间彼此通过非空的交集连通在一起，并且

[

L

,

R

)

\rm[L,R)

[L,R) 内的所有区间都没被取走。

如果在某个子游戏的范围

[

L

,

R

)

\rm[L,R)

[L,R) 内取走了一个区间

[

l

,

r

)

\rm[l,r)

[l,r)，那么这个子游戏就会被分成两个独立子游戏

[

L

,

l

)

\rm[L,l)

[L,l) 和

[

r

,

R

)

\rm[r,R)

[r,R)。与之前做过的一道题【CF1523G】Try Booking 类似，并不难理解。

此外，如果对于两个子游戏

[

L

,

R

)

\rm[L,R)

[L,R) 和

[

L

′

,

R

′

)

\rm[L',R')

[L′,R′) ，在

[

L

,

R

′

)

\rm[L,R')

[L,R′) 范围内的区间都没被取走的话，是可以把两个子游戏合并为游戏

[

L

,

R

′

)

\rm[L,R')

[L,R′) 的，这不影响。

---

于是我们可以区间

D

P

\tt DP

DP 了，令

S

G

L

,

R

\rm SG_{L,R}

SGL,R​ 表示游戏

[

L

,

R

)

\rm[L,R)

[L,R) 的SG函数值，那么就可以转移了：（

m

e

x

\rm mex

mex 是什么意思不用赘述了吧）

S

G

L

,

R

=

m

e

x
 

{

(

S

G

L

,

l

i

x

o

r

S

G

r

i

,

R

)

∣

[

l

i

,

r

i

)

⊆

[

L

,

R

)

}

\rm SG_{L,R}=mex\,\{(SG_{L,l_i}~{\tt xor}~SG_{r_i,R})~|~[l_i,r_i)\sube[L,R)\}

SGL,R​=mex{(SGL,li​​ xor SGri​,R​) ∣ [li​,ri​)⊆[L,R)}

这里有个小细节：计算SG函数值时，如果是递归，那么只能开临时数组。原因不用赘述。

时间复杂度

O

(

T

⋅

∣

U

∣

2

⋅

N

)

\rm O(T\cdot|U|^2\cdot N)

O(T⋅∣U∣2⋅N) 。

CODE

用 dp 代替了 SG 。

#include<map>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 105
#define DB double
#define LL long long
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int L[MAXN],R[MAXN];
vector<int> bu[MAXN];
bool f[MAXN][MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
bool tmp[105];
int solve(int l,int r) {
	if(l>r) return 0;
	if(f[l][r]) return dp[l][r];
	f[l][r] = 1;
	int tmp[105];
	memset(tmp,0,sizeof(tmp));

	for(int i = l;i <= r;i ++) {
		for(int j = 0;j < (int)bu[i].size();j ++) {
			int ll = L[bu[i][j]],rr = R[bu[i][j]];
			if(rr <= r) {
				tmp[solve(l,ll) ^ solve(rr,r)] = 1;
			}
		}
	}
	for(int i = 0;i <= 101;i ++) {
		if(!tmp[i]) {
			dp[l][r] = i;
			break;
		}
	}
	return dp[l][r];
}
int main() {
	int T = read();
	while(T --) {
		n = read();
		for(int i = 1;i <= 100;i ++) bu[i].clear();
		memset(f,0,sizeof(f));
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			L[i] = read();R[i] = read();
			bu[L[i]].push_back(i);
		}
		int ans = solve(1,100);
		printf(ans>0 ? "Alice\n":"Bob\n");
	}
	return 0;
}