CF513F2 题解

题意

传送门

有 \(a+b+1\) 个会动的棋子，在一个大小为 \(n\times m\) 的棋盘上，棋盘上有一些点有障碍。棋子中，有 \(a\) 个红色棋子，\(b\) 个蓝色棋子，和 \(1\) 个既能当作红棋子又能当作蓝棋子的通配棋子。

一个局面是好的，当且仅当对于每个格子，要么这个格子上没有棋子，要么这个格子上恰好存在一个红棋子与一个蓝棋子。

每个棋子有自己的初始位置 \((x_i,y_i)\) 和速度 \(t_i\)，其中 \(t_i\) 表示自己走到相邻的格子所需要的时间。

你可以控制所有棋子的移动。请问最少多少时间后能达到处于一个好的局面。或输出无解。

\(1 \le n,m \le 22,0 \le a,b \le n \times m,1 \le t_i \le 10^9\)。

题解

首先 \(|a-b|=1\)，否则无解。然后就变成 \(k\) 个红棋子与 \(k\) 个蓝棋子。

乍一看是二分图匹配。但实际上每个格子只能容纳一对棋子，故不能直接套用。

类似二分图，我们不难想到用网络流来解决这种匹配问题。因为每个棋子到任意格子的距离是已知的，故尝试二分答案。

首先将每个格子拆为入点和出点，其间连一条边。依次考虑红棋子 \(i\) 与格子 \(j\)，如果 \(i\) 到 \(j\) 的时间不大于当前二分的 \(mid\)，则从 \(i\) 连一条边到 \(j\) 的入点。同理，如果蓝棋子 \(i\) 到格子 \(j\) 的时间不大于 \(mid\)，则从 \(j\) 的出点连一条边到 \(i\)。再从源点到所有红棋子连边，从所有蓝棋子到汇点连边。所有边的容量均为 \(1\)。跑最大流，判断其是否等于 \(k\) 即可。

这种做法的时间复杂度为 \(O(n^6 \log a)\)，其中 \(a\) 为最大时间。显然不能通过。

发现瓶颈在于二分答案。因为网络流有一个很好的性质：往网络中加边，不必重构网络，直接跑就可以得出新的最大流。于是尝试另一种方式：对于所有连接棋子与格子的边，按照其时间从小到大加入。每加一条边跑一次最大流。则当最大流等于 \(k\) 时，加入的边的时间就是答案。复杂度为 \(O(n^4 \times n^4)=O(n^8)\)。

这样就有新的优化空间了。考虑将边分块：设有 \(t\) 条边，每 \(\sqrt t\) 条分为一组。每次加入一组并跑最大流。当最大流等于 \(k\) 时，再将这组的边重新一条条加入。这样的复杂度为 \(O(\sqrt{n^4} \times n^4)=O(n^6)\)。可以通过。

但实际上因为大常数，你还是会 TLE on test 87。解决办法是卡常，或者像我一样：分块套分块。设一个阈值 \(\alpha\)，先将块长设为 \(t^{\alpha}\)，等最大流等于 \(k\) 时，再将当前块分块，块长为 \(\displaystyle t^{\alpha^2}\)。则复杂度为 \(\displaystyle O((t^{1-\alpha}+t^{\alpha(1-\alpha)}+t^{\alpha^2})\times n^4)\)，易知 \(\alpha=\frac{\sqrt5-1}{2}\)，化简一下就是 \(n^{5.528}\)。可以通过。