剑指 offer 第 8 天

第 8 天

动态规划（简单）

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

• 0 <= n <= 100

题解思想：动态规划、矩阵快速幂、打表动态规划

动态规划：改写递归即可

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int a = 0, b = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int c = a + b;
            c %= mod;
            a = b;
            b = c;
        }
        return b;
    }
}

矩阵快速幂：记熟方法

class Solution {
    static final int MOD = 1000000007;

    public int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = pow(q, n - 1);
        return res[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = (int) (((long) a[i][0] * b[0][j] + (long) a[i][1] * b[1][j]) % MOD);
            }
        }
        return c;
    }
}

打表动态规划：

class Solution {
    static int mod = (int) 1e9+7;
    static int N = 110;
    static int[] cache = new int[N];

    public int fib(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        }
        if (cache[n] != 0) {
            return cache[n];
        }
        cache[n] = (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % mod;
        return cache[n];
    }
}

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：

• 0 <= n <= 100

题解思路：动态规划、矩阵快速幂

动态规划：与斐波拉契一样

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        //递归方法 找通项公式
        // 将大问题拆分成小问题 n级台阶有 numWays(n-1)+numWays(n-2)
        //出口为 n=1 返回1 n=2 返回2
        if(n==0||n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        int s1=1,s2=2;
        int sum;
        //最优雅的方式 动态规划 且空间用的也少
        for(int i=3;i<n+1;i++){
            sum=(s1+s2)%1000000007;
            s1=s2;
            s2=sum;
        }
        return s2;
    }
}

矩阵快速幂：

class Solution {
    private final static int COS = 1000000007;
    private int[][] res ={{1,0},{0,1}};
    private int[][] temp ={{1,1},{1,0}};
    public int numWays(int n) {
        int num = fastPow(n);
        return num;
    }

    public int fastPow(int n) {
        while (n != 0) {
            if((n&1) == 1) res = mul(res,temp);
            temp = mul(temp,temp);
            n = n>>>1;
        }
        return res[0][0];
    }

    public int[][] mul(int[][] a1, int[][] a2) {
        int row = a1.length;
        int col = a2[0].length;
        int[][] c = new int[row][col];
        for (int i=0; i<row; i++) {
            for (int j=0; j<col; j++) {
                long fac = 0l;
                for (int k=0; k<a1[0].length;k++) {
                    long l1 = a1[i][k];
                    long l2 = a2[k][j];
                    fac += (l1*l2)%COS;
                }
                c[i][j] = (int)fac%COS;
            }
        }
        return c;
    }
}

剑指 Offer 63. 股票的最大利润

假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

限制：

0 <= 数组长度 <= 10^5

题解思路：单调栈、动态规划

单调栈：每次记录当前最大值

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        Stack<Integer> stack = new Stack<Integer>();
        stack.push(prices[0]);
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < prices.length; i ++) {
            if (stack.peek() > prices[i]) {
                stack.pop();
                stack.push(prices[i]);
            } else {
                max = Math.max(max, prices[i] - stack.peek());
            }
        }
        return max;
    }
}

动态规划：维护一个最低价格 cost，判断当前卖出获利是否大于之前卖出获利

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length < 2) return 0; // 没有卖出的可能性
        // 定义状态，第i天卖出的最大收益
        int[] dp = new int[prices.length];
        dp[0] = 0;  // 初始边界
        int cost = prices[0]; // 成本
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], prices[i] - cost);
            // 选择较小的成本买入
            cost = Math.min(cost, prices[i]);
        }

        return dp[prices.length - 1];
    }
}