基本数据结构 —— 二叉搜索树（C++实现）

目录

• 什么是二叉搜索树
• 二叉搜索树如何储存数值
• 二叉搜索树的操作
  • 插入一个数值
  • 查询是否包含某个数值
  • 删除某个数值
• 测试代码
• 参考资料

什么是二叉搜索树

二叉搜索树（英语：Binary Search Tree)，（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树如何储存数值

如图所示：



所有的节点，都满足左子树上的所有节点都比自己的小，而右子树上的所有节点都比自己大这个条件。

二叉搜索树的操作

因为二叉搜索树的性质，二叉搜索树能够高效地进行如下操作：

• 插入一个数值；
• 查询是否包含某个数值；
• 删除某个数值

如果共有n个元素，那么平均每次操作需要O(logn)的时间。

接下来用C++来实现以上操作。首先定义节点结构体如下：

node* insert(node* p,int x)
{
	if(!p)
	{
		auto q = new node(x);
		return q;
	}
	else
	{
		if(x < p->val) p->lch = insert(p->lch,x);
		else p->rch = insert(p->rch,x);
		return p;
	}
}

插入一个数值

如图所示：

node* insert(node* p,int x)
{
	if(!p) //空树
	{
		auto q = new node(x);
		return q;
	}
	else
	{
		if(x < p->val) p->lch = insert(p->lch,x);
		else p->rch = insert(p->rch,x);
		return p;
	}
}

查询是否包含某个数值

如图所示：

bool find(node* p,int x)
{
	if(!p) return false;
	if(x == p->val) return true;
	if(x < p->val) return find(p->lch,x);
	else return find(p->rch,x);
}

删除某个数值

数值的删除比起之前提到的操作要稍微麻烦一些。例如，我们要删除数值15。如果删除了15所在的节点，那么它的两个儿子10和17就悬空了。于是，把11提到15所在的位置就可以解决问题。如图所示：



一般来说，需要根据下面几种情况分别进行处理：

• 需要删除的节点没有左儿子，那么就把右儿子提上去。
• 需要删除的节点的左儿子没有右儿子，那么就把左儿子提上去。
• 以上两种情况都不满足的话，就把左儿子的子孙中最大的节点提到需要删除的节点上。

node* remove(node* p,int x)
{
	if(!p) return NULL;
	if(x < p->val) p->lch = remove(p->lch,x);
	else if(x > p->val) p->rch = remove(p->rch,x);
	else
	{
		if(p->lch == NULL) //需要删除的节点没有左儿子
		{
			auto q = p->rch;
			delete p;
			return q;
		}
		else if(p->lch->rch == NULL) //需要删除的节点的左儿子没有右儿子
		{
			auto q = p->lch;
			q->rch = p->rch;
			delete p;
			return q;
		}
		else
		{
			auto q = p->lch;
			while(q->rch->rch != NULL) q = q->rch;
			auto r = q->rch;
			q->rch = r->lch;
			r->lch = p->lch;
			r->rch = p->rch;
			delete p;
			return r;
		}
		return p;
	}
}

测试代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>

using namespace std;

struct node{
	int val;
	node *lch,*rch;
	node(int value): val(value),lch(NULL),rch(NULL){ }
};
node* insert(node* p,int x)
{
	if(!p)
	{
		auto q = new node(x);
		return q;
	}
	else
	{
		if(x < p->val) p->lch = insert(p->lch,x);
		else p->rch = insert(p->rch,x);
		return p;
	}
}
bool find(node* p,int x)
{
	if(!p) return false;
	if(x == p->val) return true;
	if(x < p->val) return find(p->lch,x);
	else return find(p->rch,x);
}
node* remove(node* p,int x)
{
	if(!p) return NULL;
	if(x < p->val) p->lch = remove(p->lch,x);
	else if(x > p->val) p->rch = remove(p->rch,x);
	else
	{
		if(p->lch == NULL) //需要删除的节点没有左儿子
		{
			auto q = p->rch;
			delete p;
			return q;
		}
		else if(p->lch->rch == NULL) //需要删除的节点的左儿子没有右儿子
		{
			auto q = p->lch;
			q->rch = p->rch;
			delete p;
			return q;
		}
		else
		{
			auto q = p->lch;
			while(q->rch->rch != NULL) q = q->rch;
			auto r = q->rch;
			q->rch = r->lch;
			r->lch = p->lch;
			r->rch = p->rch;
			delete p;
			return r;
		}
		return p;
	}
}
void printTree(node* root)
{
	queue<node*> q;
	q.push(root);
	while(!q.empty())
	{
		auto p = q.front();q.pop();
		if(p)
		{
			cout << p->val << " ";
			q.push(p->lch);
			q.push(p->rch);
		}
	}
	cout << endl;
}
int main() {
	node* root = insert(NULL,7);
	insert(root,2);
	insert(root,15);
	insert(root,1);
	insert(root,5);
	insert(root,10);
	insert(root,17);
	insert(root,4);
	insert(root,6);
	insert(root,8);
	insert(root,11);
	insert(root,16);
	insert(root,19);
	if(find(root,15)) cout << "find 15" << endl;
	else cout << "can not find 15" << endl;
	if(find(root,3)) cout << "find 3" << endl;
	else cout << "can not find 3" << endl;
	printTree(root);
	remove(root,15);
	printTree(root);
	return 0;
};

结果：

参考资料

• 《挑战程序设计竞赛》人民邮电出版社
• 二叉搜索树_百度百科