BZOJ.2339.[HNOI2011]卡农(思路 DP 组合 容斥)

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\(Description\)

　　有\(n\)个数，用其中的某些数构成集合，求构造出\(m\)个互不相同且非空的集合（\(m\)个集合无序），并满足每个数总共出现的次数为偶数的方案数。

\(Solution\)

　　为简化问题，将无序转为有序，只需在最后除以\(m!\)即可。

　　设\(f[i]\)表示构造前\(i\)个集合并满足条件的方案数。

　　每个数出现次数为偶数，所以如果前\(i-1\)个集合确定，第\(i\)个集合也可以确定。这样对于\(i\)有\(A_{2^n-1}^{i-1}\)种方案，即从所有非空集合中确定\(i-1\)个集合。

　　但是会有非法情况，比如这样得到的第\(i\)个集合为空，那么说明前\(i-1\)个集合已经满足条件，这样的方案数是\(f[i-1]\)，减掉。

　　也有可能得到的第\(i\)个集合与之前某个集合\(j\)重复，那么去掉\(i,j\)后得到的会是合法方案，即\(f[i-2]\)，而第\(i/j\)个集合的选取有\(2^n-1-(i-2)\)种可能，\(j\)集合的位置有\(i-1\)种可能，所以减去\(f[i-2]*(i-1)*[2^n-1-(i-2)]\)。

　　这样所有限制都处理完了。

　　递推式：\(f[i]=A_{2^n-1}^{i-1}-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)*[2^n-1-(i-2)]\)

　　为什么不能用组合做而要化成排列呢。。

　　我觉得是后面枚举的集合情况与前面不一定无序吧。。

　　求解答。。

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define P (100000007)
#define Mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%P)
#define Sub(a,b) (a<b ? (a)-(b)+P : (a)-(b))//()!
const int N=1e6+5;

int n,m,f[N];

inline int FP(int x,int k)
{
	int t=1;
	for(; k; k>>=1, x=Mul(x,x))
		if(k&1) t=Mul(t,x);
	return t;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int pw2=FP(2,n)-1;//if(!pw2) pw2=P-1; else --pw2;

	f[0]=1, f[1]=0;
	for(int i=2,Alas=pw2; i<=m; ++i)
	{
		f[i]=(Alas-f[i-1]+P-1ll*f[i-2]*(i-1)%P*Sub(pw2,i-2)%P+P)%P;
		Alas=Mul(Alas, Sub(pw2+1,i));//别去用数组存A[]了。。
	}
	int inv=1;
	for(int i=2; i<=m; ++i) inv=Mul(inv,i);
	inv=FP(inv,P-2);
	printf("%lld",Mul(f[m],inv));

	return 0;
}