最短路径——Floyd算法(含证明)
通过dij,ford,spfa等算法可以快速的得到单源点的最短路径,如果想要得到图中任意两点之间的最短路径,当然可以选择做n遍的dij或是ford,但还有一个思维量较小的选择,就是floyd算法。
多源最短路径算法
Floyd算法
思维
先直观做个思考,一张图,任意两个点,已知两点间的路径权值,如果在图中能够找到一个点插入到这两点的路径之中,使得构成的路径权值小于之前的路径权值。就可以认为这条路比之前的路更短,这个点是属于两点间最短路径的。由此可以得到一个递推公式:
\]
问题就转换成了e[u][k],e[k][v]最短路径的问题,这就是一种动态规划。
只要把图枚举一遍就可以得到所有点之间的最短路径:
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
e[i][j] = min(e[i][j], e[i][k] + e[k][j]);
说到动态规范,总会感叹递推式的优美,但是有没有想过,为什么k循环在最外层,而且由于e[i][k],e[k][j]也是在不断更新,而不是恒定的最小值,所以如何保证算法在最后一次松弛更新的时候,e[i][k],e[k][j]一定是最小的。
我们用归纳法(一生之敌)做一次证明:
- 不妨做个命题:假设任意两点i和j之间的路径上可选择经过的结点集合中,座号最大的是x,当k=x的时候,d[i][j]得到最小值。
- 当i,j两点之间路径可选择经过结点仅有一个点时候,命题是成立的。
- 设i-x中座号最大的为x1,x-j中座号最大的为x2。
- 显然x>x1,x>x2。
- 假设此时命题成立,则k=x1时,d[i][x]最小,k=x2时,d[x][j]最小。
- 由此可以得到k=x的时候d[i][x]+d[x][j]已经是最小了,那么e[i][j]=min(e[i][j],e[i][x]+e[x][j])必然可以得到最小值。
由此可以证明在k循环完后就能够得到最小的。当然也可以画张图直观的感受一下。
代码实现
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX = 1000;
int e[MAX][MAX];
int n, m;
void Floyd() {
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
e[i][j] = min(e[i][j], e[i][k] + e[k][j]);
}
int main() {
cin >> n >> m;
const int inf = 100000;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (i == j) e[i][j] = 0;
else e[i][j] = inf;
int u, v, w;
for (int i = 0; i < m; i++) {
cin >> u >> v >> w;
e[u][v] = w;
e[v][u] = w;
}
Floyd();
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
cout << e[i][j] << " ";
return 0;
}
最短路径——Floyd算法(含证明)的更多相关文章
- 单源最短路径Dijkstra算法,多源最短路径Floyd算法
1.单源最短路径 (1)无权图的单源最短路径 /*无权单源最短路径*/ void UnWeighted(LGraph Graph, Vertex S) { std::queue<Vertex&g ...
- 7-8 哈利·波特的考试(25 分)(图的最短路径Floyd算法)
7-8 哈利·波特的考试(25 分) 哈利·波特要考试了,他需要你的帮助.这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事.例如将猫变成老鼠的魔咒是haha,将老鼠变成鱼的魔咒是hehe等等.反方向变 ...
- 单源最短路径——Floyd算法
正如我们所知道的,Floyd算法用于求最短路径.Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展,三个for循环就可以解决问题,所以它的时间复杂度为O(n^3). Floyd算法的基本思想如下:从任意 ...
- 最短路径Floyd算法【图文详解】
Floyd算法 1.定义概览 Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被 ...
- 最短路径—Floyd算法
Floyd算法 所有顶点对之间的最短路径问题是:对于给定的有向网络G=(V,E),要对G中任意两个顶点v,w(v不等于w),找出v到w的最短路径.当然我们可以n次执行DIJKSTRA算法,用FLOYD ...
- 最短路径--Floyd算法
Floyd算法 1.定义概览 Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被 ...
- 最短路径(Floyd)算法
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>/* Floyd算法 */#define VNUM 5#define MV 65536int P[VN ...
- 【最短路径Floyd算法详解推导过程】看完这篇,你还能不懂Floyd算法?还不会?
简介 Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm),是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法,与Dijkstra算法类似.该算法名称以 ...
- 图论之最短路径floyd算法
Floyd算法是图论中经典的多源最短路径算法,即求任意两点之间的最短路径. 它可采用动态规划思想,因为它满足最优子结构性质,即最短路径序列的子序列也是最短路径. 举例说明最优子结构性质,上图中1号到5 ...
随机推荐
- 为什么IP检验和发现错误直接丢弃而不是要求源站重发
纠错控制由上层(传输层)执行IP首部中的源站地址也可能出错,请错误的源地址重传数据报是 没有意义的
- oracle-sql脚本导出EXCEL数据
在数据库中,经常有业务人员提出需求导出数据库中的业务数据,而且是每天.每周或每月定时导出.为了方便,可将sql查询的脚本 通过下面脚本来导出EXCEL数据. 1.将查询sql脚本(AAA.sql)放到 ...
- 前端关于SEO
提高页面加载速度. 能用css解决的不用背景图片,背景图片也尽量压缩大小,可以几个icons放在一个图片上,使用background-position找到需要的图片位置.可以减少HTTP请求数,提高网 ...
- python的pymysql模块简介
一.介绍 在python中用pymysql模块来对mysql进行操作,该模块本质就是一个套接字客户端软件,使用前需要事先安装 pip3 install pymysql 二.操作简介 import py ...
- 序列化serialize()与反序列化unserialize()的实例
在写序列化serialize与反序列化unserialize()时,我们先来看看: serialize - 产生一个可存储的值的表示 描述 string serialize ( mixed $valu ...
- redis相关目录
redis的docker化安装 redis的主从配置
- 商城项目:商品列表ajax加载,ajax加入购物车--五张表的联合查询
<%@ Page Language="C#" AutoEventWireup="true" CodeBehind="ProductLists.a ...
- hive 学习系列之七 hive 常用数据清洗函数
1,case when 的利用,清洗诸如评分等的内容,用例如下. case when new.comment_grade = '五星商户' then 50 when new.comment_grade ...
- Spring-Boot ☞ ShapeFile文件读写工具类+接口调用
一.项目目录结构树 二.项目启动 三.往指定的shp文件里写内容 (1) json数据[Post] { "name":"test", "path&qu ...
- Table被web编程弃用的原因
Table要比其它html标记占更多的字节. (延迟下载时间,占用服务器更多的流量资源.)Tablle会阻挡浏览器渲染引擎的渲染顺序. (会延迟页面的生成速度,让用户等待更久的时间.)Table里显示 ...