浅谈最长上升子序列(O(n*logn)算法)

今天GM讲了最长上升子序列的logn*n算法，但没讲思路。。。

我看了篇博客，发现——

说的有道理！！！

首先，举例子：

a[7]={1,2,4,3,6,7,5}(假设以1开头)
很明显，LIS=5；
那么我们开个b数组玩玩然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列;
用len表示b数组的个数；

b[1]=a[i]=1;
那么目前为止，LIS=1，结尾最小是1；继续：

因为a[i]>b[len],所以说：b[++len]=a[i]:(a[2]>b[1],b[2]=a[2]);第三个也同理。

现在，LIS=3，以LIS=3的所有数组的最小末尾是4.

下一步很重要！！！

因为此时a[i]<b[len],那么就说明：

目前的最大LIS中一定有一个元素可以更小！！！

那么我们就需要把它变小。

那么问题来了：

变小有啥好处？？？

如果变小的是最后一个元素，那么这时我们就有两个LIS相同的数组，而且这两个数组除b[len]不同以外

完全相同

那么我们就更喜欢b[len]小一点的数组啊。。。

补充：

如果变小的不是最后一个元素呢？？？

那么：

就可以为让末尾变小打基础啊。。。

还是太蒟，词不表意。。。

补充补充！！！

重新看看！！！如果你上面看不懂

假设存在一个序列d[1…9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1…2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1…2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1…3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1…3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1…5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。