描述RSA的实现步骤介绍文章非常多,但说明并证明其原理,并进而讨论为什么这样设计的文章不多。本人才疏学浅,不敢说理解了R.S.A.三位泰斗的设计初衷,简单就自己的理解写一写,博大家一笑。

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一、用到的数论基础定理

R.S.A.三位一定是数学大神欧拉的粉丝,因为所有用到的基本原理和定理都是以欧拉命名的。

1、欧拉函数

小于m的书中,所有与m互质的数的个数定义为“欧拉函数”,写为:Φ(m)。若m的质因数分解为: (其中Pi为素数,ei为正整数),Φ(m) 的计算公式为:

2、欧拉定理

若gcd(a,m)=1(a和m互质),则有:

启示:

1)欧拉定理是“环”到“域”的重要过渡,只要把左边的乘方运算拆为两个乘方运算的乘积,拆成的两个部分就可以理解为“域”中的“元”及其乘法“逆元”,这样环上的模逆元就存在了,“环”就可以变成“域”了。但需要注意的是欧拉定理存在的条件是gcd(a,m)=1这个条件。为满足这个条件,密码学(cryptology)如果工作在有限域上,经常会进行选择m为素数,或者非常接近素数的情况;而a则之需要是小于m的任意数,作为明文或密文。但严格说,RSA不是工作在伽罗瓦域上的,因为RSA的模数n是两个素数p、q的乘积。n很接近一个素数,在证明RSA时,需要专门证明gcd(a,n)不为1的情况。

2)费马小定理是欧拉定理的“特例中的特例”,其描述为:当p是一个素数时, 或 。证明:若p为素数gcd(a,p)=1;而欧拉函数Φ(m)=p-1。代入欧拉定理,即可得到费马小定理。

二、RSA过程

Step 1.选择两个大素数p和q,当n为7680位(960字节)的数时,p和q约为3072位,在这样长度的奇数中寻找一个素数的可能性约为:

即约1065个奇数中有一个素数。

计算n=p*q。

Step 2.计算n的欧拉函数Φ(n)。

因为n的两个质因数已知为p和q,代入公式(1)有Φ(n)=(p-1)(q-1)。

Step 3.选择一个与Φ(n)互质的数e。

a)要求e与Φ(n)互质的原因是要保证e的模n乘法逆的存在。而这个乘法逆就是私钥d。

b)e将作为公钥,e取值不大,一般有3、17、65537几种选择。因为公钥e远小于私钥d,持有公钥的一方,在不论是进行加密(用RSA做密钥交换)还是进行解密(用RSA作数字签名)的速度都远远快于持有私钥d的一方

e之所以选择这几个数,除了是素数之外,还因为这几个数3(b101)、17(b1_0001)、65537(b1_0000_0001)的二进制表达中1的个数特别少,这样在计算xe时将会特别简便。

c)在整个RSA运算中,计算d是唯一一次使用Φ(n)作为模的地方,其他地方都是使用n作为模。

Step 4.使用公钥e和私钥d进行加解密

a)上面的公式中并没有指定x和y谁是明文谁是密文,也就是说两者都可以作为明文和密文。

b)RSA找到了一种“一一对应”的映射关系f:因为e较小,且公开,所以x映射到y很容易;y映射到x很困难,d较大,且不知道p、q时很难得到。这样的映射f被称为单向映射

三、RSA的证明

证明RSA过程,等价于证明:其中

n=p×q,n只有p、q两个质因数。

根据n和x的情况分两种情况讨论:

情况一:当x不含有p和q两个质因数时,n和x互质,gcd(n,x)=1。根据欧拉定理有:

根据d的定义,d和e对模Φ(n)互逆,有:

将上式写成另一种形式:

将其代入欲证明的(2),有:

情况二:当n和x不互质时,由于n=p×q,x可以写成:x=r×p或s×q(但不能写成x=r×p×q,因为这会使得x > n)。不失一般性,假设x=r×p。由于,根据欧拉定理和欧拉函数有:

根据d的定义,同样有(5)式,而(6)式则变为:

其中使用了欧拉函数计算公式

将(7)代入上式有:

至此,证明了不论在那种情况下都有 ,证毕!

四、RSA的设计思路

不自量力的揣测一下R.S.A.三位的设计思路,是利用欧拉定理构造了以n作为模的环上互逆的一对数x和y作为明文和密文,x和y各自是对方的e次方和d次方。如果知道n的质因数分解(p×q)的,可以通过欧拉函数方便的计算出e和d,否则只能靠对方告知其中之一,从而形成了单向映射,构成了所谓“非对称加密”。

另外,在e和d的复杂度的分割上,并不是相等的。设计者让知道质因数分解的一方的密钥d远远复杂于e,原因有二:其一,知道质因数分解的一方可以通过中国余数定理CRT加速计算;其二,不知道质因数分解的诸多“非对称”通信者,可以使用较低的算力执行加、解密。

较简单密钥e称为公钥,较复杂密钥d称为私钥。

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