FFT 【JSOI2012】bzoj4332 分零食 （未解决）

很不错的一道倍增优化dp？？

第一次做这类题挺难想的

题目大意：

有n个小朋友，m块糖。 
给小朋友分糖，如果一个小朋友分不到糖，那他后面的小朋友也分不到糖。 
每个小朋友有一个喜悦值，有三个参数，O，S，U，设一个小朋友分到糖数为x，则这个小朋友的喜悦值为O*x x+ S x +U，分不到糖的小朋友的喜悦值为1。 
求所有分糖方案下 所有小朋友喜悦值乘积 的和。

题目分析：

首先想到 dp 。g[i][j]g[i][j] 表示前 ii 个小朋友分到 jj 块糖的所有方案 SS 之和，然后答案是 ∑ni=1g[i][m]∑i=1ng[i][m]。 
dp方程

 

g[n][m]=∑i=1mg[n−1][i]×f(m−i)g[n][m]=∑i=1mg[n−1][i]×f(m−i)

（枚举第 nn 个小朋友分到的糖数）。 
然后发现是个卷积的形式，于是立刻想到 FFT ，立刻想到倍增 （

 

g[n]=g[n−1]∗fg[n]=g[n−1]∗f

得到

 

g[n]=g[0]∗fng[n]=g[0]∗fn

，而 g[0]=1g[0]=1 所以

 

g[n]=fng[n]=fn

）。但是我们显然要求的是

 

∑i=1ng[i][m]∑i=1ng[i][m]

只是这样倍增显然是不行的。

于是记

 

F[n]=∑i=1ng[i]F[n]=∑i=1ng[i]

则 F[n][m]F[n][m] 即为答案。 
我们还是可以用倍增的方式求 F[n]F[n] （以下设 nn 为 22 的倍数）。

 

F[n]=∑i=1ng[i]F[n]=∑i=1ng[i]

 

F[n]=F[n2]+∑i=n2+1ng[i]F[n]=F[n2]+∑i=n2+1ng[i]

 

F[n]=F[n2]+∑i=n2+1nfiF[n]=F[n2]+∑i=n2+1nfi

 

F[n]=F[n2]+∑i=1n2fi+n2F[n]=F[n2]+∑i=1n2fi+n2

 

F[n]=F[n2]+fn2∑i=1n2fiF[n]=F[n2]+fn2∑i=1n2fi

 

F[n]=F[n2]+g[n2]∗F[n2]F[n]=F[n2]+g[n2]∗F[n2]

完成！

对于 n mod 2=1n mod 2=1 的情况，可以从 F[n−1]F[n−1] 来计算 F[n]F[n]。可以证明，迭代次数是 log2nlog2n 级别的。 
于是就可以开心的使用倍增完成，取膜可以在求完卷积时膜。

复杂度 O(nlog2nlog2m)