51Nod 1600 Simple KMP 解题报告

51Nod 1600 Simple KMP

对于一个字符串\(|S|\)，我们定义\(fail[i]\)，表示最大的\(x\)使得\(S[1..x]=S[i-x+1..i]\)，满足\((x<i)\)

显然对于一个字符串，如果我们将每个\(0\le i\le |S|\)看成一个结点，除了\(i=0\)以外\(i\)向\(fail[i]\)连边，这是一颗树的形状，根是\(0\)

我们定义这棵树是\(G(S)\)，设\(f(S)\)是\(G(S)\)中除了\(0\)号点以外所有点的深度之和，其中\(0\)号点的深度为\(-1\)

定义\(key(S)\)等于\(S\)的所有非空子串\(S'\)的\(f(S')\)之和

给定一个字符串\(S\)，现在你要实现以下几种操作：

1.在\(S\)最后面加一个字符

2.询问\(key(S)\bmod 10^9+7\)

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发现连的是KMP的fail边，然而这个并没有什么用处，考虑某个长\(n\)的串\(S\)的\(key(S)\)实际是什么

\[key(S)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n(\sum_{l=i}^j\sum_{k=1}^{l-i}[S[i,i+k-1]=S[l-k+1,l]])
\]

前两个合式枚举子串，第三个枚举节点，第四个计算深度。

设

\[F(S)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{n-i}[S[i,i+k-1]=S[n-k+1,n]]
\]

实际上计算的是钦定末尾位置，算前面的贡献。

可以得到

\[key(S)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^iF(S[1,j])
\]

然后对每个串，钦定每个可以成为末尾位置的\(j\)，求和一下就成了。

如果算出了\(F[1,i]\)，显然可以算出\(key\)

相等子串个数，考虑SAM

对于某个点\(i\)，当被加入SAM的时候，对\(par\)树上的到根的链上的每个点都存在相等的串的匹配，考虑计算这条链的贡献。

链上的一个点的贡献可以被描述为\(cnt*le\)，即在\([1,i-1]\)中出现的次数和这个点\(endpos\)所代表的集合的串长个数（就是\(len[x]-len[par[x]]\)）

计算完贡献后，我们需要对这些点的\(cnt\)进行区间加\(1\)

直接用LCT或者树剖在最后离线维护即可。

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Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=4e5+10;
const int mod=1e9+7;
inline void add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
#define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
int n;
char s[N];
int len[N],par[N],tr[N][26],pos[N],tot=1,las=1;
void extend(int c)
{
    int now=++tot,p=las;
    len[now]=len[p]+1;
    while(p&&!tr[p][c]) tr[p][c]=now,p=par[p];
    if(!p) par[now]=1;
    else
    {
        int x=tr[p][c];
        if(len[x]==len[p]+1) par[now]=x;
        else
        {
            int y=++tot;
            len[y]=len[p]+1;
            par[y]=par[x];
            memcpy(tr[y],tr[x],sizeof tr[y]);
            while(p&&tr[p][c]==x) tr[p][c]=y,p=par[p];
            par[x]=par[now]=y;
        }
    }
    las=now;
}
int ch[N][2],L[N],R[N],tag[N],sum[N],dat[N],lp[N],rp[N];
#define ls ch[now][0]
#define rs ch[now][1]
#define fa par[now]
bool isroot(int now){return ch[fa][0]==now||ch[fa][1]==now;}
int identity(int now){return ch[fa][1]==now;}
void connect(int f,int now,int typ){ch[fa=f][typ]=now;}
void updata(int now)
{
    sum[now]=0;
    add(sum[now],sum[ls]);
    add(sum[now],dat[now]);
    add(sum[now],sum[rs]);
    L[now]=lp[now];
    if(ls) L[now]=L[ls];
    R[now]=rp[now];
    if(rs) R[now]=R[rs];
}
void Rotate(int now)
{
    int p=fa,typ=identity(now);
    connect(p,ch[now][typ^1],typ);
    if(isroot(p)) connect(par[p],now,identity(p));
    else fa=par[p];
    connect(now,p,typ^1);
    updata(p),updata(now);
}
void upt(int now,int d)
{
    add(tag[now],d);
    add(dat[now],mul(d,rp[now]-lp[now]));
    add(sum[now],mul(d,R[now]-L[now]));
}
void pushdown(int now)
{
    if(tag[now])
    {
        if(ls) upt(ls,tag[now]);
        if(rs) upt(rs,tag[now]);
        tag[now]=0;
    }
}
int sta[N],ct;
void splay(int now)
{
    while(isroot(now)) sta[++ct]=now,now=fa;
    sta[++ct]=now;
    while(ct) pushdown(sta[ct--]);
    now=sta[1];
    for(;isroot(now);Rotate(now))
        if(isroot(fa))
            Rotate(identity(now)^identity(fa)?now:fa);
}
void access(int now)
{
    for(int las=0;now;las=now,now=fa)
        splay(now),rs=las,updata(now);
}
int qry(int now)
{
    access(now),splay(now);
    return sum[now];
}
void modi(int now)
{
    access(now),splay(now);
    upt(now,1);
}
int main()
{
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) extend(s[i]-'a'),pos[i]=las;
    //for(int i=2;i<=tot;i++) printf("%d %d\n",par[i],i);
    //for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",pos[i]);puts("");
    int ans=0,yuu=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        lp[i]=L[i]=len[par[i]],rp[i]=R[i]=len[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        add(ans,qry(par[pos[i]]));
        modi(pos[i]);
        add(yuu,ans);
        printf("%d\n",yuu);
    }
    return 0;
}

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2019.5.3