[2019多校联考(Round 6 T3)]脱单计划 (费用流)

[2019多校联考(Round 6 T3)]脱单计划 (费用流)

题面

你是一家相亲机构的策划总监，在一次相亲活动中，有 n 个小区的若干男士和 n个小区的若干女士报名了这次活动，你需要将这些参与者两两匹配（只能男生和 女生相匹配），每个小区都提供了自己的地址，用二维平面上的坐标(x,y)来表示，若 A 男所在小区的地址为（x1，y1），B 女所在小区的地址为（x2，y2），由“距离产生美”可得，A 男不 B 女匹配的亲密值为他们的曼哈顿距离|x1-x2|+|y1-y2|，现在要求你确定一种匹配方案使得总亲密值最大（每位男士只能匹配一位女士，每位女士也只能匹配一位男士）

分析

此题和[AGC 034D]Manhattan Max Matching几乎一模一样

小区之间两两连容量无穷，费用为两点间曼哈顿距离的边，原点到男士所在小区连容量为该小区男士数量，费用为0的边。女士所在小区到汇点同理。这样显然是会超时的。

考虑简化的情况，如果费用为\(x_1-x_2+y_1-y_2\),那么可以建一个辅助点u，\((x_1,y_1)\)男士对应的点向u连费用为\(x_1+y_1\)的边，u向女士\((x_2,y_2)\)连费用为\(-x_2-y_2\)的边。跑费用流的时候费用叠加，就得到了\(x_1-x_2+y_1-y_2\)。这样连边的边数是\(O(n)\)的

有绝对值符号怎么办。把绝对值按符号拆成4种情况。\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|=max(x_1-x_2+y_1-y_2,x_2-x_1+y_1-y_2,x_1-x_2+y_2-y_1,x_2-x_1+y_2-y_1)\)

建4个辅助点对应4种情况，每个点都像上面那样连边。

由于是最大费用，跑出来的是4种情况最大值，恰好就是曼哈顿距离取了绝对值符号后的结果。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define maxn 10000
#define maxm 3000000
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
inline void qread(int& x){
	x=0;
	int sign=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') sign=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x=x*sign;
}
inline void qread(ll& x){
	x=0;
	int sign=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') sign=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x=x*sign;
}

struct node{
	ll x;
	ll y;
	int c;
}a[maxn+5],b[maxn+5];

inline ll get_dist(node p,node q){
	return abs(p.x-q.x)+abs(p.y-q.y);
}

namespace network_flow{
	struct edge{
		int from;
		int to;
		int next;
		ll flow;
		ll cost;
	}E[maxm+5];
	int head[maxn+5];
	int sz=1;
	void add_edge(int u,int v,ll w,ll c){
#ifdef DEBUG
//		printf("%d->%d vol=%lld cost=%lld\n",u,v,w,c);
#endif
		c=-c;
		sz++;
		E[sz].from=u;
		E[sz].to=v;
		E[sz].flow=w;
		E[sz].cost=c;
		E[sz].next=head[u];
		head[u]=sz;
		sz++;
		E[sz].from=v;
		E[sz].to=u;
		E[sz].flow=0;
		E[sz].cost=-c;
		E[sz].next=head[v];
		head[v]=sz;
	}

	bool inq[maxn+5];
	int pre[maxn+5];
	ll minf[maxn+5];
	ll dist[maxn+5];
	bool spfa(int s,int t){
		for(int i=s;i<=t;i++){
			inq[i]=0;
			pre[i]=0;
			dist[i]=INF;
			minf[i]=INF;
		}
		queue<int>q;
		q.push(s);
		inq[s]=1;
		dist[s]=0;
		while(!q.empty()){
			int x=q.front();
			q.pop();
			inq[x]=0;
			for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
				int y=E[i].to;
				if(E[i].flow&&dist[y]>dist[x]+E[i].cost){
					dist[y]=dist[x]+E[i].cost;
					pre[y]=i;
					minf[y]=min(minf[x],E[i].flow);
					if(!inq[y]){
						q.push(y);
						inq[y]=1;
					}
				}
			}
		}
		return dist[t]!=INF;
	}
	void update(int s,int t){
		int x=t;
		while(x!=s){
			int i=pre[x];
			E[i].flow-=minf[t];
			E[i^1].flow+=minf[t];
			x=E[i].from;
		}
	}
	ll mcmf(int s,int t){

		ll flow=0,cost=0;
		while(spfa(s,t)){
			flow+=minf[t];
			cost+=minf[t]*dist[t];
			update(s,t);
		}
		return -cost;
	}
	void solve(){
		int s=0,t=n*2+5;
		int p1=n*2+1,p2=n*2+2,p3=n*2+3,p4=n*2+4;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			add_edge(s,i,a[i].c,0);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			add_edge(i+n,t,b[i].c,0);
		}
		//绝对值分符号拆成4个，用4个辅助点连边
		//因为是最大费用，4种情况取最大值就是绝对值
		//这样就把边数从O(n^2)变成O(n)
		for(int i=1;i<=n;i++){
			//x1-x2+y1-y2
			add_edge(i,p1,INF,a[i].x+a[i].y);
			add_edge(p1,i+n,INF,-b[i].x-b[i].y);
			//x1-x2+y2-y1
			add_edge(i,p2,INF,a[i].x-a[i].y);
			add_edge(p2,i+n,INF,-b[i].x+b[i].y);
			//x2-x1+y1-y2
			add_edge(i,p3,INF,-a[i].x+a[i].y);
			add_edge(p3,i+n,INF,b[i].x-b[i].y);
			//x2-x1+y2-y1
			add_edge(i,p4,INF,-a[i].x-a[i].y);
			add_edge(p4,i+n,INF,b[i].x+b[i].y);
		}
		printf("%lld\n",mcmf(s,t));
	}
}

int main(){
//	freopen("1.in","r",stdin);
	qread(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		qread(a[i].x);
		qread(a[i].y);
		qread(a[i].c);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		qread(b[i].x);
		qread(b[i].y);
		qread(b[i].c);
	}
	network_flow::solve();
}