[CF1161C] Thanos Nim

传送门

题意：\(2n\)堆石子，每堆\(a_i\)个，先手每次选中\(n\)堆石子，并从每堆中拿走任意个（可以不同）。轮到某人时不足\(n\)堆则判负，问先手是否必胜。\(n\leq25,a_i\leq 50\).

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显然，轮到某人时，若堆数在\([n,2n)\)之间，他可以直接拿走\(n\)堆，取得胜利。这意味着只要某个人先手将某堆拿空，他将告负。

考虑什么时候一个人会将一堆拿空而告负，发现只会出现在\(1\)的个数在\((n,2n]\)时。由此发现，若大小为\(1\)的堆数量在\([1,n]\)内，他一定可以让一些堆的大小降为\(1\)，使得对手将某些堆拿空。

回顾开始的胜利条件，我们发现它等价于大小为\(0\)的堆的数量在\([1,n]\)时先手必胜，在\((n,2n]\)时先手必败，否则考虑大小为\(1\)的堆的情况。发现与上一段中的情况完全相同，可以递归处理直到某个数量存在至少一堆。

因此我们得到了一个结论：若最小值出现次数超过\(n\)则先手必胜，否则先手必败。这是数学归纳法在OI上的良好应用。