codevs 2602 最短路径问题——良心题解

2602 最短路径问题

时间限制: 1 s

空间限制: 32000 KB

题目等级 : 黄金 Gold

题解

题目描述 Description

平面上有n个点（n<=100），每个点的坐标均在-10000~10000之间。其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的直线距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径。

输入描述 Input Description

第一行为整数n。

第2行到第n+1行（共n行），每行两个整数x和y，描述了一个点的坐标。

第n+2行为一个整数m，表示图中连线的个数。

此后的m行，每行描述一条连线，由两个整数i和j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线。

最后一行：两个整数s和t，分别表示源点和目标点。

输出描述 Output Description

仅一行，一个实数（保留两位小数），表示从s到t的最短路径长度。

样例输入 Sample Input

5

0 0

2 0

2 2

0 2

3 1

5

1 2

1 3

1 4

2 5

3 5

1 5

样例输出 Sample Output

3.41

数据范围及提示 Data Size & Hint

。

分类标签 Tags 点此展开

Floyd 最短路 图论

提交：codevs：http://codevs.cn/problem/2602/

思路分析：按照输入顺序建立点集，存储点的横纵坐标，图的话因为是Floyd，只能用邻接矩阵（或许是我太蒟了？orz），反正只有100个点，数组开到100*100就够了，因为只需要存储这100个点之间的关系，内存占用大约336KB，不会MLE（空间限制32M）。只有100个点，数据太小了，用Floyd过O(n)=100^3=1 000 000也不会TLE，关键还是以好写为主嘛。然后s和e都是编号，只需要在图中寻找就好了。这题关键在于处理好图与点的关系。

附：不同算法对不同图的适用性（时间复杂度以O=10^8为限，约合1s）：

算法（特性）	算法复杂度	极限
Floyd（慢，适用于负边）	通值：V^3	与E无关，通值：V<463
Dijkstra（不能处理负边权）	期望：V^2 最差：|E|+|V|log|V|	与E, N均有关，期望：V<9999 最差：V<9998
SPFA（对于稠密图退化为Bellman - Ford算法）	期望：kE（k为常数，常见为2）最差：|V|*|E|	与V, E均有关，期望：V<5^7 最差：V<463

注：可以生成数据专门卡SPFA，如超稠密图、网格图等等，此时k会变得非常大，SPFA算法非常慢（|V|*|E|，等同于Floyd）。所以说SPFA算法是一种非常不稳定的算法（想要推翻前述观点请证明k的取值范围）。以下为维基百科原话：

“

以下是构建数据以破坏该算法的方法（不使用队列优化）。假设要求从顶点1到顶点n的最短路径。然后，我们可以用1≤i<n的小随机权重来添加边（i，i + 1）（因此最短路径应为1-2 -...n），并随机添加4n个其他重边。对于这种情况，所谓的SPFA算法将非常慢。

”

附：两篇国家队论文，供有能力并且有兴趣的同学看看，内容主要是对于最短路算法优化的讨论（感谢jby与yym两位前辈！）：

SPFA算法的优化及应用(by jby)：

https://wenku.baidu.com/view/9e1231126edb6f1aff001f25.html

最短路算法及其应用(by yym)：

https://wenku.baidu.com/view/7b2134c30c22590102029d27.html

（当然省选阶段前卡SPFA算法的题目是很少的，但还是要熟记Dijkstra算法，毕竟是一种十分稳定的算法，并且堆优化后跑得很快。要注意数据范围，大数据直接上SPFA；数据在10^4数量级上，保险起见还是用Dijkstra算法。）

代码（如果看不清楚就调整缩放比例到150%吧）：

来一波数据黑一下SPFA：

(I). 数据

1000 999000

1 2 1

1 3 1

…

1 1000 1

2 1 1

…

999 1000 1

1 1000

 

(数据量：10.2M)

(II). 实测：

略，这是SPFA的最差情况——完全图。