HDU 4923 Room and Moor (单调栈)

题意：

　　给你一个A数列，让你求一个单调递增的B数列(0<=bi<=1)，使得sum{(ai-bi)^2}最小。

思路：

　　很明显，如果A = 0...01...1，那么bi=ai即可。

　　可以证明，如果 A = 1...10...0，那么所有bi达到同一个值的时候取得最优值。 假设 ai = 1, aj = 0， 那么 i<j ，所以bi<=bj。 若bi != bj，那么增大bi的值，或者减小bj的值都可以得到更优的结果。 所以，bi=bj。

　　所以，如果A数列里面出现了形如 "1...10...0"的部分，我们都可以把它当做同一段处理。因为他们对应的bi值一定相同。

　　这样，我们可以得到一个中间序列，x1, ..., x1, x2, ..., x2, ..., xm, ...xm. 我们可以把它简化为，x1, ..., xm。其中 xi对应着每一段的最优值。

　　我们可以发现，这里的xi不一定单调递增。 然后我们仿照上面的证明，知道当有相邻两段的xi递减时，会在他们所有的bi相等时取得最优值。因此，我们可以把这两段合并，求出一个满足单调性的值。

　　所以，最后的B序列一定是这样：y1, ..., y1, ..., ym, ..., ym。所以我们可以用一个单调栈来维护所有的bi值。

代码：

　　

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <string>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <functional>
 #include <time.h>

 using namespace std;

 typedef pair<double, int> PDI;

 const int INF = <<;
 const int MAXN = (int) 1e5+;

 int n;
 int a[MAXN];
 double b[MAXN];

 PDI sk[MAXN]; //栈
 int tail; //栈顶指针

 void solve() {
     tail = ; //栈初始化

     for (int i = ; i < n; i++) {
         sk[tail++] = make_pair(1.0*a[i], ); //当前点入栈
         while (tail> && sk[tail-].first<=sk[tail-].first) { //如果栈不满足单调性，合并最上面两个节点
             int cnt = sk[tail-].second+sk[tail-].second;
             double tmp = (sk[tail-].first*sk[tail-].second+sk[tail-].first*sk[tail-].second)/cnt;
             sk[tail-] = make_pair(tmp, cnt);
             tail--;
         }
     }
     //求出bi
     for (int i = , j = ; i < tail; i++)
         for (int k = ; k < sk[i].second; k++)
             b[j++] = sk[i].first;
     //求出结果
     double ans = ;
     for (int i = ; i < n; i++)
         ans += (a[i]-b[i])*(a[i]-b[i]);
     printf("%f\n", ans);
 }

 int main() {
     #ifdef Phantom01
         freopen("HDU4923.txt", "r", stdin);
     #endif //Phantom01

     int T;
     scanf("%d", &T);
     while (T--) {
         scanf("%d", &n);
         for (int i = ; i < n; i++)
             scanf("%d", &a[i]);
         solve();
     }

     return ;
 }

HDU 4923