luogu 3768 简单的数学题 (莫比乌斯反演+杜教筛)

题目大意：略 洛谷传送门

杜教筛入门题？

以下都是常规套路的变形，不再过多解释

$\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ijgcd(i,j)$

$\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ij\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$

$\sum\limits_{d=1}^{N} \varphi(d) \sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ij$

$\sum\limits_{d=1}^{N} \varphi(d) d^{2} \sum\limits_{i=1}^{\left \lfloor \frac{N}{d} \right \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left \lfloor \frac{N}{d} \right \rfloor}ij$

令$f(d)=\varphi(d) d^{2}$，由于$\varphi(d)$和$1(d)$都是积性函数，所以$f(d)$是积性函数

数据范围好像有点大？$n \leq 10^{10}$？杜教筛！

考虑设计一个和$f$搭配且同为积性函数$g$，且$(f*g)$能很快计算出来，令$f(n)$前缀和是$S(n)$

给出杜教筛的推导式

$S(n)=\sum\limits_{i=1}^{N}(f*g)(i)-\sum\limits_{i=2}^{N}g(i)S(\left \lfloor \frac{N}{i} \right \rfloor)$

根据常见狄利克雷卷积形式$id=1*\varphi$，容易推出比较优秀的$g(d)=d^{2}$，那么$(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})=\varphi(d) d^{2}(\frac{n}{d})^{2}=n^{3}$

$g$的前缀和就是平方和，$(f*g)$的前缀和就是立方和，可以$O(1)$求出来

一定要多取模，不然有些地方可能会爆$longlong$

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define N1 5000010
 #define M1 3000010
 #define ll long long
 #define dd double
 #define cll const long long
 using namespace std;

 const int maxn=;

 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
     if(!b){ x=; y=; return; }
     exgcd(b,a%b,x,y); ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
 }
 struct Hsh{
 #define M 3000000
 int head[M1],nxt[M1],val[M1],cte;ll to[M1];
 void ins(ll x,int w)
 {
     int j,y=x%M;ll v;
     for(j=head[y];j;j=nxt[j]){ v=to[j]; if(v==x) return; }
     cte++; to[cte]=x; val[cte]=w; nxt[cte]=head[y]; head[y]=cte;
 }
 int query(ll x)
 {
     int j,y=x%M;ll v;
     for(j=head[y];j;j=nxt[j]){ v=to[j]; if(v==x) return val[j]; }
     return -;
 }
 #undef M
 }h;

 ll n,m,inv2,inv6;
 int use[N1],pr[N1],cnt,phi[N1];
 ll f[N1],sf[N1];
 void get_mu(cll &jr)
 {
     int i,j; phi[]=f[]=sf[]=use[]=;
     for(i=;i<=maxn;i++)
     {
         if(!use[i]){ pr[++cnt]=i; phi[i]=i-; }
         for(j=;j<=cnt&&i*pr[j]<=maxn;j++)
         {
             use[i*pr[j]]=;
             if(i%pr[j]){ phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-)%jr; }
             else{ phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j]%jr; break; }
         }
         f[i]=1ll*i*i%jr*phi[i]%jr;
         sf[i]=(sf[i-]+f[i])%jr;
     }
 }
 int F(ll x,cll &jr)
 {
     if(x<=maxn) return sf[x];
     ll ans=h.query(x); if(ans!=-) return ans;
     ll i,la,pi,pla; ans=x%jr*(x+)%jr*inv2%jr; ans=ans*ans%jr;
     for(i=;i<=x;i=la+){
         la=x/(x/i); pi=i%jr; pla=la%jr;
         ans-=(1ll*pla%jr*(pla+)%jr*(*pla+)%jr-1ll*(pi-)%jr*(pi)%jr*(*pi-)%jr)*inv6%jr*F(x/i,jr)%jr;
     }
     ans=(ans%jr+jr)%jr;
     h.ins(x,ans);
     return ans;
 }

 int main()
 {
     scanf("%lld%lld",&m,&n);
     cll jr=m; get_mu(jr); ll i,la,x,y,ans=;
     exgcd(,jr,inv6,y); exgcd(,jr,inv2,y); inv6=(inv6%jr+jr)%jr; inv2=(inv2%jr+jr)%jr;
     for(i=;i<=n;i=la+)
     {
         la=n/(n/i);
         if((n/i)&) x=(n/i+)/%jr*((n/i)%jr)%jr;
         else x=(n/i)/%jr*((n/i+)%jr)%jr;
         ans=(x*x%jr*(F(la,jr)-F(i-,jr)+jr)+ans)%jr;
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }