加州理工学院公开课：机器学习与数据挖掘_Regularization（第十二课）

课程简单介绍：

接上一节课，这一节课的主题是怎样利用 Regularization 避免 Overfitting。通过给如果集设定一些限制条件从而避免  Overfitting，可是如果限制条件设置的不恰当就会造成 Underfitting。

最后讲述了选择 Regularization 的一些启示式方法。

课程大纲：

1、Regularization

2、Weight decay

3、Choosing a regularizer

1、Regularization

R 有两种方法：

1) Mathematical 

函数近似过程的病态问题。

2) Heuristic

妨碍 Ein 的最小化过程。

本节主要介绍另外一种方法。

模型（如果集）：Legendre Polynomials + Linear Regression 

之所以选择该模型进行解说。是由于该模型可以简化我们的推导。利用其它的模型也可以，可是将会添加推导的难度。对于解说问题。这毫无益处。

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvZmVpdGlhbmh1MjEz/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" width="500" alt="">

通过 Legendre 函数。我们把 x 空间下的数据映射到 Z 空间。

然后就能够利用之前学习过的 Linear Regression 知识进行计算、推导。

以下的思路主要就是在 Hq 的前提下添加一些限制条件。（详细是什么限制条件。详细问题详细分析，然而也有一些指导性原则，因此该限制条件是的设定是 heuristic （启示式）的。比方之前讲过的 H2 和 H10 就是在 H10的模型下添加一些限制条件，从而变成 H2，这叫硬性限制）然后在满足该限制条件的前提下求出最小的 Ein。一般都是用求导 = 0 的方法求得。

首先先看看在没有设置限定条件的时候，求得的 W 值（Wlin）

在添加限制条件下：为了表述方便。令此时计算得到的 W 为 Wreg

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvZmVpdGlhbmh1MjEz/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="">

如今的所有问题就是求出 Wreg，在学习其他的方法（如支持向量机，KKT 等）前，以下利用的方法是不严谨的，是基于对图形的分析而得出来的。

红色的圈表示的是限制条件，我们的目的就是在该圈内找到一个W 使得 Ein 最小。

图中的线都是等高线，箭头表示的是最大梯度方向。Wlin表示在没有限制条件的情况下得到的最小的Ein相应的W值。为了得到最小的 Ein，能够不断缩小蓝色圈。使得图中两个圈相切，此时有 Ein 最小。切点就是相应的 W （如果Wlin不包括在红色圈中，否则限制条件也就没有意义了），此时有蓝色箭头和红色箭头在同一条直线上并且方向相反，即 ▽Ein(Wreg) 正比于 -Wreg。

为了方便，我们如果比例系数是：-2λ/N，之所以要加上
常系数是由于这样有利于推导过程的顺利进行，λ 的取值将直接对结果产生影响。

最后一步的最小化结果就是解。（求导 = 0得到的等式跟倒数第二个等式形式一致，这也是为什么要加上那两个常系数的原因），为了方便，令最后一个等式为 Eaug(W),表示添加限制条件下的 Ein。

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvZmVpdGlhbmh1MjEz/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" width="500" alt="">

有了上面的分析，如今问题的求解就非常easy了，例如以下：

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvZmVpdGlhbmh1MjEz/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" width="500" alt="">

当 λ 取不同的值得时候会有不同的表现，当 λ 无限大，则 Wreg = λI，因此无法进行学习。当 λ 变为 0 的时候就退化为没有限制条件下的学习问题。以下看看当 λ 取不同的值对于结果的影响：

可以看到，假设我们可以找到一个好的 λ 将会对学习结果产生很积极的影响。反之。则会使得学习陷入还有一个极端：Underfitting，根本就把数据给无视了，好人坏人一起干掉！。

因此选取的时候须要小心。

上面对 Eaug的最小化过程叫做 Weight decay。why？

2、Weight decay

在神经网络中有类似以下的公式：

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvZmVpdGlhbmh1MjEz/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" width="500" alt="">

当 λ 非常小的时候，其效果相当于降低 W(t)。因此叫做 decay。但是。为什么一定要降低？假设添加会如何？依照经验，假设添加 W(t) 会使得结果变得糟糕，例如以下图：

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvZmVpdGlhbmh1MjEz/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="">

在这样的情况下，仅仅有当 λ 等于 0 的时候才干最小化 Eout，此时相当于没有限制条件。当然，这些仅仅是一些指导性的规则，并没有严格的数学限制。事实上机器学习非常多时候都是这样，基于一个如果，然后进行学习。学习的效果跟如果有非常大的关系。或者说如果的好坏直接影响到机器学习的效果。

其实，我们的限制条件能够是多样的，比方。我们能够在上述的限制条件下添加一些參数，使得对于不同项的系数拥有不同的限制条件：

  

一般化：

令 Ω =
Ω(h),当中 Ω 表示Regularizer。通过
Ω 对如果集添加限制条件。

如今就是要最小化：Eaug(h)  = Ein(h) + λ/N*Ω(h)

上面的公式跟：

Eout(h) <= Ein(h) + Ω(H)
非常相似。

曾经我们把 Ein 作为 Eout 的一个代理。如今Eaug将更好的完毕这项工作。

如今问题是该怎样得到
Ω ？

3、Choosing a regularizer

Ω 的选取是一个启示性的问题。通过对实际的观察，我们得到例如以下实践的规则：

1) 随机噪声一般都是高频的，尖锐的。

2) 确定性噪声一般也不是平滑的。

因此我们限制的一般化原则是使得学习的结果想着平滑、简洁的方向进行。

最后，我们看看 λ  对结果的影响：