Python实现HMM（隐马尔可夫模型）

1. 前言

隐马尔科夫HMM模型是一类重要的机器学习方法，其主要用于序列数据的分析，广泛应用于语音识别、文本翻译、序列预测、中文分词等多个领域。虽然近年来，由于RNN等深度学习方法的发展，HMM模型逐渐变得不怎么流行了，但并不意味着完全退出应用领域，甚至在一些轻量级的任务中仍有应用。本系列博客将详细剖析隐马尔科夫链HMM模型，同以往网络上绝大多数教程不同，本系列博客将更深入地分析HMM，不仅包括估计序列隐状态的维特比算法（HMM解码问题）、前向后向算法等，而且还着重的分析HMM的EM训练过程，并将所有的过程都通过数学公式进行推导。

由于隐马尔科夫HMM模型是一类非常复杂的模型，其中包含了大量概率统计的数学知识，因此网络上多数博客一般都采用举例等比较通俗的方式来介绍HMM，这么做会让初学者很快明白HMM的原理，但要丢失了大量细节，让初学者处于一种似懂非懂的状态。而本文并没有考虑用非常通俗的文字描述HMM，还是考虑通过详细的数学公式来一步步引导初学者掌握HMM的思想。另外，本文重点分析了HMM的EM训练过程，这是网络上其他教程所没有的，而个人认为相比于维特比算法、前向后向算法，HMM的EM训练过程虽然更为复杂，但是一旦掌握这个训练过程，那么对于通用的链状图结构的推导、EM算法和网络训练的理解都会非常大的帮助。另外通过总结HMM的数学原理，也能非常方便将数学公式改写成代码。

最后，本文提供了一个简单版本的隐马尔科夫链HMM的Python代码，包含了高斯模型的HMM和离散HMM两种情况，代码中包含了HMM的训练、预测、解码等全部过程，核心代码总共只有200~300行代码，非常简单！个人代码水平比较渣=_=||，大家按照我的教程，应该都可以写出更鲁棒性更有高效的代码，附上Github地址：https://github.com/tostq/Easy_HMM

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重要的事要说三遍！！！！

为了方便大家学习，我将整个HMM代码完善成整个学习项目，其中包括

hmm.py：HMM核心代码，包含了一个HMM基类，一个高斯HMM模型及一个离散HMM模型

DiscreteHMM_test.py及GaussianHMM_test.py：利用unnitest来测试我们的HMM，同时引入了一个经典HMM库hmmlearn作为对照组

Dice_01.py：利用离散HMM模型来解决丢色子问题的例子

Wordseg_02.py：解决中文分词问题的例子

Stock_03.py：解决股票预测问题的例子

2. 隐马尔科夫链HMM的背景

首先，已知一组序列 ：

我们从这组序列中推导出产生这组序列的函数，假设函数参数为 ，其表示为

即使得序列X发生概率最大的函数参数，要解决上式，最简单的考虑是将序列 的每个数据都视为独立的，比如建立一个神经网络。然后这种考虑会随着序列增长，而导致参数爆炸式增长。因此可以假设当前序列数据只与其前一数据值相关，即所谓的一阶马尔科夫链：

有一阶马尔科夫链，也会有二阶马尔科夫链（即当前数据值取决于其前两个数据值）

当前本文不对二阶马尔科夫链进行深入分析了，着重考虑一阶马尔科夫链，现在根据一阶马尔科夫链的假设，我们有：

因此要解一阶马尔科夫链，其关键在于求数据（以下称观测值）之间转换函数 ，如果假设转换函数同序列中位置 （时间）无关，我们就能根据转换函数而求出整个序列的概率：

然而，如果观测值x的状态非常多（特别极端的情况是连续数据），转换函数会变成一个非常大的矩阵，如果x的状态有K个，那么转换函数就会是一个K*(K-1)个参数，而且对于连续变量观测值更是困难。

为了降低马尔科夫链的转换函数的参数量，我们引入了一个包含较少状态的隐状态值，将观测值的马尔科夫链转换为隐状态的马尔科夫链（即为隐马尔科夫链HMM）

其包含了一个重要假设：当前观测值只由当前隐状态所决定。这么做的一个重要好处是，隐状态值的状态远小于观测值的状态，因此隐藏状态的转换函数 的参数更少。

此时我们要决定的问题是：

即在所有可能隐藏状态序列情况下，求使得序列 发生概率最大的函数参数 。

这里我们再总结下：

隐马尔科夫链HMM三个重要假设：

1. 当前观测值只由当前隐藏状态确定，而与其他隐藏状态或观测值无关（隐藏状态假设）

2. 当前隐藏状态由其前一个隐藏状态决定（一阶马尔科夫假设）

3. 隐藏状态之间的转换函数概率不随时间变化（转换函数稳定性假设）

隐马尔科夫链HMM所要解决的问题：

在所有可能隐藏状态序列情况下，求使得当前序列X产生概率最大的函数参数θ。

代码

http://blog.csdn.net/sinat_36005594/article/details/69568538

前几天用MATLAB实现了HMM的代码，这次用python写了一遍，依据仍然是李航博士的《统计学习方法》

由于第一次用python，所以代码可能会有许多缺陷，但是所有代码都用书中的例题进行了测试，结果正确。

这里想说一下python，在编写HMM过程中参看了之前写的MATLAB程序，发现他们有太多相似的地方，用到了numpy库，在python代码过程中最让我头疼的是数组角标，和MATLAB矩阵角标从1开始不同，numpy库数组角标都是从0开始，而且数组的维数也需要谨慎，一不小心就会出现too many indices for array的错误。程序中最后是维特比算法，在运行过程中出现了__main__:190: VisibleDeprecationWarning: using a non-integer number instead of an integer will result in an error in the future的警告，还没有去掉这个警告，查了一下说不影响结果，后面会去解决这个问题，下面贴出我的代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Feb 16 19:28:39 2017
2017-4-2
    ForwardBackwardAlg函数功能：实现前向算法
    理论依据：李航《统计学习方法》
2017-4-5
    修改了ForwardBackwardAlg函数名称为ForwardAlgo以及输出的alpha数组形式
    完成了BackwardAlgo函数功能：后向算法
    以及函数FBAlgoAppli：计算在观测序列和模型参数确定的情况下，
    某一个隐含状态对应相应的观测状态的概率
2017-4-6
    完成BaumWelchAlgo函数一次迭代
2017-4-7
    实现维特比算法
@author: sgp
"""

import numpy as np

#输入格式如下：
#A = np.array([[.5,.2,.3],[.3,.5,.2],[.2,.3,.5]])
#B = np.array([[.5,.5],[.4,.6],[.7,.3]])
#Pi = np.array([[.2,.4,.4]])
#O = np.array([[1,2,1]])

#应用ndarray在数组之间进行相互运算时，一定要确保数组维数相同！
#比如：
#In[93]:m = np.array([1,2,3,4])
#In[94]:m
#Out[94]: array([1, 2, 3, 4])
#In[95]:m.shape
#Out[95]: (4,)
#这里表示的是一维数组
#In[96]:m = np.array([[1,2,3,4]])
#In[97]:m
#Out[97]: array([[1, 2, 3, 4]])
#In[98]:m.shape
#Out[98]: (1, 4)
#而这里表示的就是二维数组
#注意In[93]和In[96]的区别,多一对中括号！！

#N = A.shape[0]为数组A的行数， H = O.shape[1]为数组O的列数
#在下列各函数中，alpha数组和beta数组均为N*H二维数组，也就是横向坐标是时间，纵向是状态

def ForwardAlgo(A,B,Pi,O):
    N = A.shape[0]#数组A的行数
    M = A.shape[1]#数组A的列数
    H = O.shape[1]#数组O的列数

    sum_alpha_1 = np.zeros((M,N))
    alpha = np.zeros((N,H))
    r = np.zeros((1,N))
    alpha_1 = np.multiply(Pi[0,:], B[:,O[0,0]-1])

    alpha[:,0] = np.array(alpha_1).reshape(1,N)#alpha_1是一维数组，在使用np.multiply的时候需要升级到二维数组。#错误是IndexError: too many indices for array

    for h in range(1,H):
        for i in range(N):
            for j in range(M):
                sum_alpha_1[i,j] = alpha[j,h-1] * A[j,i]
            r = sum_alpha_1.sum(1).reshape(1,N)#同理，将数组升级为二维数组
            alpha[i,h] = r[0,i] * B[i,O[0,h]-1]
    #print("alpha矩阵: \n %r" % alpha)
    p = alpha.sum(0).reshape(1,H)
    P = p[0,H-1]
    #print("观测概率: \n %r" % P)
    #return alpha
    return alpha, P

def BackwardAlgo(A,B,Pi,O):
    N = A.shape[0]#数组A的行数
    M = A.shape[1]#数组A的列数
    H = O.shape[1]#数组O的列数

    #beta = np.zeros((N,H))
    sum_beta = np.zeros((1,N))
    beta = np.zeros((N,H))
    beta[:,H-1] = 1
    p_beta = np.zeros((1,N))

    for h in range(H-1,0,-1):
        for i in range(N):
            for j in range(M):
                sum_beta[0,j] = A[i,j] * B[j,O[0,h]-1] * beta[j,h]
            beta[i,h-1] = sum_beta.sum(1)
    #print("beta矩阵: \n %r" % beta)
    for i in range(N):
        p_beta[0,i] = Pi[0,i] * B[i,O[0,0]-1] * beta[i,0]
    p = p_beta.sum(1).reshape(1,1)
    #print("观测概率: \n %r" % p[0,0])
    return beta, p[0,0]

def FBAlgoAppli(A,B,Pi,O,I):
    #计算在观测序列和模型参数确定的情况下，某一个隐含状态对应相应的观测状态的概率
    #例题参考李航《统计学习方法》P189习题10.2
    #输入格式：
    #I为二维数组，存放所求概率P(it = qi,O|lambda)中it和qi的角标t和i，即P=[t,i]
    alpha,p1 = ForwardAlgo(A,B,Pi,O)
    beta,p2 = BackwardAlgo(A,B,Pi,O)
    p = alpha[I[0,1]-1,I[0,0]-1] * beta[I[0,1]-1,I[0,0]-1] / p1
    return p

def GetGamma(A,B,Pi,O):
    N = A.shape[0]#数组A的行数
    H = O.shape[1]#数组O的列数
    Gamma = np.zeros((N,H))
    alpha,p1 = ForwardAlgo(A,B,Pi,O)
    beta,p2 = BackwardAlgo(A,B,Pi,O)
    for h in range(H):
        for i in range(N):
            Gamma[i,h] = alpha[i,h] * beta[i,h] / p1
    return Gamma

def GetXi(A,B,Pi,O):
    N = A.shape[0]#数组A的行数
    M = A.shape[1]#数组A的列数
    H = O.shape[1]#数组O的列数
    Xi = np.zeros((H-1,N,M))
    alpha,p1 = ForwardAlgo(A,B,Pi,O)
    beta,p2 = BackwardAlgo(A,B,Pi,O)
    for h in range(H-1):
        for i in range(N):
            for j in range(M):
                Xi[h,i,j] = alpha[i,h] * A[i,j] * B[j,O[0,h+1]-1] * beta[j,h+1] / p1
    #print("Xi矩阵: \n %r" % Xi)
    return Xi

def BaumWelchAlgo(A,B,Pi,O):
    N = A.shape[0]#数组A的行数
    M = A.shape[1]#数组A的列数
    Y = B.shape[1]#数组B的列数
    H = O.shape[1]#数组O的列数
    c = 0
    Gamma = GetGamma(A,B,Pi,O)
    Xi = GetXi(A,B,Pi,O)
    Xi_1 = Xi.sum(0)
    a = np.zeros((N,M))
    b = np.zeros((M,Y))
    pi = np.zeros((1,N))
    a_1 = np.subtract(Gamma.sum(1),Gamma[:,H-1]).reshape(1,N)
    for i in range(N):
        for j in range(M):
            a[i,j] = Xi_1[i,j] / a_1[0,i]
    #print(a)
    for y in range(Y):
        for j in range(M):
            for h in range(H):
                if O[0,h]-1 == y:
                    c = c + Gamma[j,h]
            gamma = Gamma.sum(1).reshape(1,N)
            b[j,y] = c / gamma[0,j]
            c = 0
    #print(b)
    for i in range(N):
        pi[0,i] = Gamma[i,0]
    #print(pi)
    return a,b,pi

def BaumWelchAlgo_n(A,B,Pi,O,n):#计算迭代次数为n的BaumWelch算法
    for i in range(n):
        A,B,Pi = BaumWelchAlgo(A,B,Pi,O)
    return A,B,Pi

def viterbi(A,B,Pi,O):
    N = A.shape[0]#数组A的行数
    M = A.shape[1]#数组A的列数
    H = O.shape[1]#数组O的列数
    Delta = np.zeros((M,H))
    Psi = np.zeros((M,H))
    Delta_1 = np.zeros((N,1))
    I = np.zeros((1,H))

    for i in range(N):
        Delta[i,0] = Pi[0,i] * B[i,O[0,0]-1]

    for h in range(1,H):
        for j in range(M):
            for i in range(N):
                Delta_1[i,0] = Delta[i,h-1] * A[i,j] * B[j,O[0,h]-1]
            Delta[j,h] = np.amax(Delta_1)
            Psi[j,h] = np.argmax(Delta_1)+1
    print("Delta矩阵: \n %r" % Delta)
    print("Psi矩阵: \n %r" % Psi)
    P_best = np.amax(Delta[:,H-1])
    psi = np.argmax(Delta[:,H-1])
    I[0,H-1] = psi + 1
    for h in range(H-1,0,-1):
        I[0,h-1] = Psi[I[0,h]-1,h]
    print("最优路径概率: \n %r" % P_best)
    print("最优路径: \n %r" % I)