求解Catalan数，（大数相乘，大数相除，大数相加）

Catalan数

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814–1894）命名。历史上，清代数学家明安图(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。卡塔兰数的一般公式为 C(2n,n)/(n+1)。

性质：

令h(0)=1,h(1)=1，卡塔兰数满足递归式：

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;

还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1) ，(n>1)  h(0)=1

该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)

卡塔兰数列的前几项为 [注： n = 0, 1, 2, 3, … n]

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

 

代码求解：

　　大数相加

 //大数相加
 string add(string s1,string s2)
 {
     if(s1.length()<s2.length())
     {
         string temp=s1;
         s1=s2;
         s2=temp;
     }
     int i,j;
     for(i=s1.length()-,j=s2.length()-; i>=; i--,j--)
     {
         s1[i]=char(s1[i]+(j>=?s2[j]-'':));
         if(s1[i]-''>=)
         {
             s1[i]=char((s1[i]-'')%+'');
             if(i) s1[i-]++;
             else s1=''+s1;
         }
     }
     return s1;
 }

　　大数相乘

 //大数相乘
 string mult(string a,string b)
 {
     int flag=,i,j,k,p,q,t,max;
     char ch;
     string c,ans;
     p=a.size()-;
     q=b.size()-;
     ans="";
     for(i=p; i>=; i--)
     {
         flag=;
         c="";
         for(j=i; j<p; j++) c+='';
         for(j=q; j>=; j--)
         {
             t=(b[j]-'')*(a[i]-'')+flag;
             flag=t/;
             c+=(t%+'');
         }
         if(flag) c+=(flag+'');
         for(j=,k=c.size()-; j<k; j++,k--)
         {
             ch=c[j];
             c[j]=c[k];
             c[k]=ch;
         }
         ans=add(ans,c);
     }
     return ans;
 }

　　大数除以小数

 //大数除以小数
 string div(string src,int n)
 {
     string dest="";
     int len = src.length(),i,k,t =  , s = ;
     bool flag = true;
     for(i=,k=; i<len; i++)
     {
         t = s*+(src[i]-);
         if(t/n> || t==)
             dest += (t/n+),s = t%n,flag = false;
         else
         {
             s = t;
             if(!flag)
                 dest += '';
         }
     }
     return dest;
 }

　　求解Catalan数

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include<string.h>
 #include<stack>
 #include<set>
 #include <queue>
 using namespace std;
 string s[];

 //大数相加
 string add(string s1,string s2)
 {
     if(s1.length()<s2.length())
     {
         string temp=s1;
         s1=s2;
         s2=temp;
     }
     int i,j;
     for(i=s1.length()-,j=s2.length()-; i>=; i--,j--)
     {
         s1[i]=char(s1[i]+(j>=?s2[j]-'':));
         if(s1[i]-''>=)
         {
             s1[i]=char((s1[i]-'')%+'');
             if(i) s1[i-]++;
             else s1=''+s1;
         }
     }
     return s1;
 }

 //大数相乘
 string mult(string a,string b)
 {
     int flag=,i,j,k,p,q,t,max;
     char ch;
     string c,ans;
     p=a.size()-;
     q=b.size()-;
     ans="";
     for(i=p; i>=; i--)
     {
         flag=;
         c="";
         for(j=i; j<p; j++) c+='';
         for(j=q; j>=; j--)
         {
             t=(b[j]-'')*(a[i]-'')+flag;
             flag=t/;
             c+=(t%+'');
         }
         if(flag) c+=(flag+'');
         for(j=,k=c.size()-; j<k; j++,k--)
         {
             ch=c[j];
             c[j]=c[k];
             c[k]=ch;
         }
         ans=add(ans,c);
     }
     return ans;
 }

 //大数除以小数
 string div(string src,int n)
 {
     string dest="";
     int len = src.length(),i,k,t =  , s = ;
     bool flag = true;
     for(i=,k=; i<len; i++)
     {
         t = s*+(src[i]-);
         if(t/n> || t==)
             dest += (t/n+),s = t%n,flag = false;
         else
         {
             s = t;
             if(!flag)
                 dest += '';
         }
     }
     return dest;
 }
 int main()
 {
     s[]="";
     for(int i=; i<; i++)
     {
         char s1[];
         sprintf(s1,"%d",*i-);
         s[i] = mult(s[i-],s1);
         s[i] = div(s[i],i+);
     }
     int n;
     while(scanf("%d",&n))
     {
         if(n==-) break;
         cout<<s[n]<<endl;
     }
     return ;
 }