蓝桥杯真题 k倍区间

考点：

- 利用前缀和求子列和

- 同余作差是模的倍数

题目概要

给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入 第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000) 以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出 输出一个整数，代表K倍区间的数目。

例如，

输入： 5 2 1 2 3 4 5

程序应该输出： 6

资源约定： 峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M CPU消耗 < 2000ms

子列和问题的解法：前缀和（静态数据）、树状数组、区间数

给出代码

package demo;
​
import java.util.Scanner;
​
public class Main {
    public static int k, n;
    public static long ans = 0;
    public static long[] a = new long[100010];
    public static long[] s = new long[100010];
    
    public static void main(String args[]) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        k = in.nextInt();
        s[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = in.nextLong();
            s[i] = s[i - 1] + a[i];
        }
        //枚举i，j，求得两者之间的区间和：s[j]-s[i-1],区间和可以是一个数
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = i; j <= n; j++) {
                if ((s[j] - s[i - 1]) % k == 0)
                    ans++;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

但这样的代码只能解决10的4次方规模的问题，而题目中给的是10的5次方。那么要对代码进行进一步的优化。

同余作差，一定是模的倍数，在余数相同的一堆里，任取两个，就可以相减得到子列和（C32组合数），最后要加上mod[0]，因为余0的数有两种考虑模式：第一种是任选两个相减，第二种是这个数之间一个人做一个子列

优化后的代码

package demo;
​
import java.util.Scanner;
​
public class Main {
    public static int k, n;
    public static long ans = 0;
    public static long[] a = new long[100010//这里可以不用开那么大的预空间
    public static long[] s = new long[100010];//用的时候再开也可以的
​
    public static void main(String args[]) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        k = in.nextInt();
        long[] mod = new long[k];
        s[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = in.nextLong();
            s[i] = (s[i - 1] + a[i]) % k;
            mod[(int) s[i]]++;
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
//          System.out.println("mod" + i + " = " + mod[i]);
            ans = ans + mod[i] * (mod[i] - 1) / 2;
        }
        System.out.println(ans + mod[0]); // 所有能直接被k整除的都可以直接拿出来做一个区间
    }
}