#凸包，闵可夫斯基和#CF87E Mogohu-Rea Idol

题目

按逆时针顺序给出三个凸包点集 \(\mathbb{A,B,C}\)，每次查询给出点 \(D\)，

问是否存在点 \(A\in\mathbb{A},B\in\mathbb{B},C\in\mathbb{C}\) 满足 \(D\) 为 \(\Delta{ABC}\) 的重心。

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分析

考虑重心的坐标就是 \((\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)

那么如果将 \(D\) 的坐标扩大三倍，那么也就是问 \(\mathbb{A,B,C}\) 三个凸包按照坐标分别相加组装成一个新的凸包，点 \(D\) 是否在这个凸包中。

可以发现三个凸包可以直接利用闵可夫斯基和合并起来，然后判断点是否位于多边形内部即可

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
const int N=150011;
typedef long long lll; int n,m,_n;
struct Point{
    lll x,y;
    inline Point operator -(const Point &t)const{
    	return (Point){x-t.x,y-t.y};
	}
    inline Point operator +(const Point &t)const{
    	return (Point){x+t.x,y+t.y};
	}
}a[3][N],_a[N],b[N],B,seg[2][N];
inline signed iut(){
	rr int ans=0,f=1; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) f=(c=='-')?-f:f,c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans*f;
}
inline lll Dis(Point x){return x.x*x.x+x.y*x.y;}
inline lll cj(Point x,Point y){return x.x*y.y-x.y*y.x;}
inline lll dj(Point x,Point y){return x.x*y.x+x.y*y.y;}
bool cmp(Point x,Point y){
    rr lll t=cj(x-B,y-B);
    return t>0||(!t&&Dis(x-B)<Dis(y-B));
}
inline bool within(Point p){
	rr Point _p=p-a[2][1];
	if (cj(_p,_a[2])>0||cj(_p,_a[_n])<0) return 0;
	rr int l=2,r=_n-1;
	while (l<=r){
		rr int mid=(l+r)>>1;
		if (cj(_p,_a[mid])<=0&&cj(_p,_a[mid+1])>=0)
			return cj(_a[mid+1]-_p,_a[mid]-_p)<=0;
		else if (cj(_p,_a[mid])>0) r=mid-1;
		    else l=mid+1;
	}
	return 0;
}
inline void Convex(Point *a,int &n){
    rr int o=1,Top;
	for (rr int i=2;i<=n;++i)
	if (a[i].x<a[o].x||(a[i].x==a[o].x&&a[i].y<a[o].y)) o=i;
	swap(a[o],a[1]),B=a[1],sort(a+2,a+1+n,cmp);
	b[Top=1]=a[1];
	for (rr int i=2;i<=n;++i){
		while (Top>1&&cj(a[i]-b[Top-1],b[Top]-b[Top-1])>=0) --Top;
		b[++Top]=a[i];
    }
    for (rr int i=1;i<=n;++i) a[i]=a[0]; n=Top;
    for (rr int i=1;i<=Top;++i) a[i]=b[i],b[i]=a[0];
}
inline void Minkowski(){
	for (rr int i=1;i<n;++i) seg[0][i]=a[0][i+1]-a[0][i]; seg[0][n]=a[0][1]-a[0][n];
	for (rr int i=1;i<m;++i) seg[1][i]=a[1][i+1]-a[1][i]; seg[1][m]=a[1][1]-a[1][m];
	rr int I=1,J=1;
	a[2][_n=1]=a[0][1]+a[1][1];
	for (;I<=n&&J<=m;++_n)
	if (cj(seg[0][I],seg[1][J])>=0)
	    a[2][_n+1]=a[2][_n]+seg[0][I++];
	else a[2][_n+1]=a[2][_n]+seg[1][J++];
	for (;I<=n;++_n) a[2][_n+1]=a[2][_n]+seg[0][I++];
	for (;J<=m;++_n) a[2][_n+1]=a[2][_n]+seg[1][J++];
}
signed main(){
	n=iut(); for (rr int i=1;i<=n;++i) a[0][i]=(Point){iut(),iut()};
	m=iut(); for (rr int i=1;i<=m;++i) a[1][i]=(Point){iut(),iut()};
	Convex(a[0],n),Convex(a[1],m),Minkowski(),Convex(a[2],_n),n=_n,m=iut();
	for (rr int i=1;i<=n;++i) a[0][i]=a[2][i];
	for (rr int i=1;i<=m;++i) a[1][i]=(Point){iut(),iut()};
	Convex(a[1],m),Minkowski(),Convex(a[2],_n);
	for (rr int i=2;i<=_n;++i) _a[i]=a[2][i]-a[2][1];
	for (rr int Q=iut();Q;--Q)
		puts(within((Point){3*iut(),3*iut()})?"YES":"NO");
	return 0;
}