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八云蓝自动机 Ⅰ

首先我们对于操作 \(1\) 转换，我们给 \(k\) 单独再开一个点 \(a_c\)，这样我们就可以把操作 \(1\) 转换成操作 \(2\) 了。

对于区间问题，我们考虑使用莫队进行维护。

我们记录当前 \(a\) 的值，\(pos_i\) 表示原来第 \(i\) 个位置的数现在在哪里，\(rev_i\) 维护现在第 \(i\) 个数原来在哪里，和 \(add_i\) 现在第 \(i\) 个位置上查询了多少次。

首先我们先考虑指针 \(r\) 往右移的情况。

1. 这个操作是交换

直接交换 \(a_x\) 和 \(a_y\)，\(rev_x\) 和 \(rev_y\)，\(pos_{rev_x}\) 和 \(pos_{rev_y}\)。

1. 这个操作是查询

直接给 \(ans\) 加上 \(a_x\)，然后 \(add_x\) 加 \(1\) 即可。

然后我们考虑指针 \(l\) 往左移的情况。

1. 这个操作是交换

我们同样先交换 \(a_x\) 与 \(a_y\)，\(rev_{pos_x}\) 和 \(rev_{pos_y}\) 以及 \(pos_x\) 和 \(pos_y\)。

由于这个操作会影响到后面的查询操作，所以这个操作会改变答案。所以在交换后我们需要加上 \((a_{pos_x} - a_{pos_y}) \times (add_{pos_x} - add_{pos_y})\)。

1. 这个操作是查询

和上面一样，\(ans\) 加上 \(a_{pos_x}\)，\(add_x\) 加上 \(1\)。

剩下两种类似，只需改改符号即可。时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。

最后要注意本题对 \(2^{32}\) 取模。

code

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我们可以先转换问题。

每个点在 \(a_i\) 时间消失，求一个最小的 \(t\) 使得在所有点都消失前访问所有点

然后我们就可以发先我们发现一直向前走一定不会比等一会在向前走更劣。

先破环成链，枚举每一个 \(i \in [n,2 \times n)\)。所以走到一个点 \(j\) 的时间即为 \(t - (i - j)\)。

所以对于所有的 \(j\) 必须满足 \(a_j \le t - (i - j)\)。即 \(\max (T_j - j) + i = t_{min}\)。

所以答案即为 \(\min_{n \le i < 2n} max_{i - n < j \le i} \ a_j - j + i\)。

于是我们令 \(t_i = a_i - i\)。并且让 \(i\) 向前平移 \(n\) 为，得到 \(ans = \min_{1 \le i \le n}(i + max_{i \le j \le 2 \times n} \ a_j) + (n - 1)\)。

实际上就是维护后缀最大值。相同的，对于每一个 \(j\) 我们只需维护这个点作为 \(i\) 的最大后缀中最小的 \(i\)。这个操作我们可以使用单调队列进行维护。

有了修改，我们用一颗线段树来维护单调队列即可。所以复杂度即为 \(O((n + m) \log^2 n)\)。

code。

P6528

问题等价于求 \(\sum_{l1 \le i \le r1} \sum_{l2 \le j \le r2} \lfloor \frac{\sum^{\max(i,j)}_{x=\min(i,j)} a_x}{k} \rfloor\)。

首先我们可以通过容斥来把这个问题拆解成若干个形式为 \(\sum_{l \le i \le r}\sum_{l \le j \le r}\lfloor \frac{\sum^{\max(i,j)}_{x=\min(i,j)} a_x}{k} \rfloor\) 的式子。

接下来我们只需要求出那个式子即可。

我们先对 \(a\) 数组求前缀和，为 \(s\)。后面那个式子即为 \(\lfloor \frac{s_i - s_{j - 1}}{k} \rfloor\)。

接下来我们令 \(c_i = \lfloor \frac{s_i}{k} \rfloor,d_i = s_i \mod k\)。

那么后面那个式子就是 \(c_i - c_{i - 1} - [d_j \le d_{i - 1}]\)。

然后我们发现前面的是可以 \(O(n)\) 预处理，\(O(1)\) 查询的。后面的式子把 \(l - 1\) 和 \(r\) 拎出来然后用主席树求一下即可，剩下的套莫队二离的板子就行了。