[JZOJ3320] 【BOI2013】文本编辑器

题目

题目大意

给你一个文本，要删去其中所有的‘e’。

有三种操作：

• h光标左移。
• x删除光标上面的字母（光标是横着的）。
• fc跳到后面的第一个字符为‘c’的位置。

问操作序列的最短长度。

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思考历程

首先看错了题意，然后感觉似乎很水……后来发现错了……

接下来开始想其它的方法。

有个还不错的思路：设\(f_{i,j}\)表示前面\(i\)个‘e’被选了，现在光标在\(j\)的最小答案。

比赛的时候头昏眼花写出了一个\(O(n^4)\)的转移方程，后来在最后5分钟的时候发现其中的一对变量是重复的……也就是说，实际上是\(O(n^3)\)……

我就这么错过了50分……

（后来才知道，同样是这个状态，可以优化到\(O(10n^2)\)，具体不再赘述）

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正解

先推荐一篇博客：https://www.cnblogs.com/Itst/p/10339605.html

这篇博客非常详细。所以我觉得我不用说这么多了。

这题的正解是个看起来高大上的线头DP。

什么是高大上？就是名字都没听过的东西。

先说一开始的操作：将所有的‘e’删掉，答案预先加上\(2\)倍的‘e’的个数。具体原因显然。

那么必经位置就是原先前面是‘e’的位置。

题目转化为：从头开始，每次可以进行两种操作，问经过所有必经位置的最小答案。

我们形象地将文本看作一个数轴，每次的操作看作走一条边，往后跳的称作飞边，往前跳的称作走边

开始设DP状态：

\(f_{i,j}\)表示\(i\)和\(i+1\)之间的垂线与走过的边有一个交点，显然这是和飞边的交点。\(j\)为飞边落下位置上的字母；

\(g_{i,j,k}\)表示垂线与走过的边有三个交点，显然这是和两个飞边和一个走边的交点。\(j\)为前面一条飞边落下位置上的字母，\(k\)为后面一条飞边落下位置的字母。

可能有点不清楚，那我就借一下刚刚那片博客的图：



先考虑\(f_{i,j}\)的转移，有以下四种情况：

1. \(f_{i-1,j}\)，\(s_i\neq j\)且\(i\)不是必经点。
2. \(f_{i-1,s_i}+2\)
3. \(g_{i-1,s_i,j}\)，\(s_i\neq j\)
4. \(g_{i-1,s_i,s_i}+2\)
   
   

画画图就能理解了……再次借用图片。

再考虑\(g_{i,j}\)的转移，有以下六种情况（方程和别人的有很大区别，不要混淆了）。

（\(nex_{i,j}\)表示\(i\)后第一个\(j\)的位置）

1. \(f_{i-1,j}+nex_{i,j}-i+2\)，\(j\neq s_i\)
2. \(f_{i-1,s_i}+nex_{i,j}-i+4\)
3. \(g_{i-1,j,k}\)，\(j\neq s_i\)且\(k \neq s_i\)
4. \(g_{i-1,s_i,k}+nex_{i,j}-i+2\)，\(k\neq s_i\)
5. \(g_{i-1,j,s_i}+2\)，\(j\neq s_i\)
6. \(g_{i-1,s_i,s_i}+nex_{i,j}-i+4\)

这些图片当然也是我Copy过来的，不过要注意的是，我的转移中\(i+1\)和\(j\)是已经连在一起的。

原版的方程看别人博客去……（其实我之前一直不理解为什么他们不把\(i+1\)和\(j\)连在一起，后来我终于明白，它们的状态计算的答案是\(i\)之前的，后面的还没有算。在后面的转移过程中会慢慢累加，补整齐。不过我觉得我这样打好理解一点）

方程完了，剩下一点细节：初始化\(f_{0,s_1}=0\)，其它为无限大；答案加上\(f_{n,'k'}\)，'k'为原串中没有出现过的字符。这相当于最后连一条出去（所以还要再减\(2\)）。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 70010
inline void update(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
int _n,n;
char _s[N],s[N];
int nex[N][11];
bool must[N];
int f[N][11],g[N][11][11];
int ans;
int main(){
	scanf("%d%s",&_n,_s+1);
	ans=0;
	for (int i=1;i<=_n;++i)
		if (_s[i]=='e')
			ans+=2;
		else{
			s[++n]=_s[i];
			if (_s[i-1]=='e')
				must[n]=1;
		}
	memset(nex[n+1],1,sizeof nex[n+1]);
	s[n+1]='k';
	for (int i=1;i<=n+1;++i)
		s[i]-='a';
	for (int i=n;i>=1;--i){
		memcpy(nex[i],nex[i+1],sizeof nex[i]);
		nex[i][s[i+1]]=i+1;
	}
	memset(f,127,sizeof f);
	memset(g,127,sizeof g);
	f[0][s[1]]=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		for (int j=0;j<=10;++j){
			if (j!=s[i]){
				if (!must[i])
					update(f[i][j],f[i-1][j]);
				update(f[i][j],g[i-1][s[i]][j]);
			}
			update(f[i][j],f[i-1][s[i]]+2);
			update(f[i][j],g[i-1][s[i]][s[i]]+2);
		}
		for (int j=0;j<=10;++j)
			for (int k=0;k<=10;++k){
					if (j!=s[i]){
						update(g[i][j][k],f[i-1][j]+nex[i][j]-i+2);
						if (k!=s[i])
							update(g[i][j][k],g[i-1][j][k]);
						update(g[i][j][k],g[i-1][j][s[i]]+2);
					}
					update(g[i][j][k],f[i-1][s[i]]+nex[i][j]-i+4);
					if (k!=s[i])
						update(g[i][j][k],g[i-1][s[i]][k]+nex[i][j]-i+2);
					update(g[i][j][k],g[i-1][s[i]][s[i]]+nex[i][j]-i+4);
				}
	}
	ans+=f[n][10]-2;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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总结

见到毒瘤题的时候要仔细找找题目的性质……

DP时要善于分类讨论……不要被高大上的名字吓到了……