关于SAM和广义SAM

不是教程

某些思考先记下来

SAM

终于学会了这个东西诶......

一部分重要性质

确定一个重要事情，S构造出的SAM的一个重要性质是当且仅当对于S的任意一个后缀，可以从1号节点走到终止状态。专业的名词叫做有限状态自动机。

trans[st][c]表示的是对于状态st,如果将st中任意串s加一个c,那么会到达的新状态new，显然new是唯一的。假如不唯一那么s一定不属于同一个st。

fa[st]表示的是对于状态st，如果慢慢缩小st中后缀长度，会到达的第一个状态。规定一个虚点$1$全集，那么fa能够构成一个树形结构(parent tree)。

很显然$endpos[st]\subset endpos[fa[st]]$。所以虽然$\sum|endpos|=O(n^2)$但是可以通过线段树合并得到endpos集合。你也可以发现Parent Tree任何一个到根的链是一个长度递减且连续的某个后缀的前缀。

trans构成的有向图G一定是一个DAG，因为可以建立这个图从1到任意点的路径构成的串对应的原串，所以有环就出大事了。

G上任意一条从1开始走的路径都代表一个后缀的前缀——也就是一个子段。

而对于G任意一个i节点开始走的路径，表示的是对于后缀i的任意一个子段。

可以发现一个确定的Trans[][]可以唯一确定一个串和SAM的形态。因为DAG的最长路是原串。

构建和复杂度证明

先说构建，构建的目的是要让这个东西能够识别新的后缀并且还要维持好Parent Tree的各种性质。

设原来是S[1...r]现在我们要变成S[1...r+1],S[r+1]=c:

首先可以发现的事情是，新状态一定包括$S[1....r+1]$，设这个新状态为u，那么首先我们要让所有$S[i...r+1]$都被表示出来，我们可以一直跳$v=r$的fa，根据定义如果没有trans[v][c]我们要更新trans[v][c]。然后一直跳如果直到1才停下来，说明之前$S[(i \in[1,r])...r]$都没出现过，那没事了。

但是如果到中间一个$v$而trans[v][c]=x，说明$v$代表的$S[i...r+1]$之前被表示出来过，但按照parent tree的定义我们要更新endspos。此时有一个问题:

x代表的串最长的那个串可能不是我们当前要使得自动机以后识别的串S[i...r+1]。根据parent tree那个一条链的性质，这个集合一定要假如x的所有父亲的endpos集合中，但是可以发现，比S[i...r+1]小的串构成的endpos集合和大于等于S[i...r+1]的串endpos集合现在多了一个r+1,所以我们把x分裂成上下两半y和x'，然后让x'和u共同当y的儿子。此时有一个问题是我们要更新一下trans，也就是把之前DAG图上到x的边全部转到y上，根据trans还有fa的性质这些边一定是v的连续一段fa，我们暴力修改一下(复杂度等下分析)。更新后的DAG只能只能识别原来的串+c这些串了(trans全更新了)，并且我们成功更新了endpos。

分析一下复杂度:

首先如果trans[v][c]=NULL我们修改成r+1的这一部分复杂度是没问题的。因为你修改一次意味着一条DAG上的边，而DAG上的边是$O(n)$的。

唯一的问题是到了v之后，你还要跳连续的v的trans[v'][c]=x的一段链。这里复杂度是多少？

根据trans和Parent Tree分析一下，可以发现，任何一段暴力跳都可以对应上一个另一条树链上的一段，且另一段大小一定不小于这一段。那么一直这样对应下去一定可以找到一个最长的链。由于parent tree总点数是$O(n)$的，所以显然暴力跳的次数远远小于$O(n)$ 。

广义SAM

普通SAM是针对一个串而言的，而广义SAM是针对一个trie树而言的。此时后缀和endpos的定义一一扩大，后缀变成了包括叶子的一段缀，endpos变成了trie树上的节点编号。

考虑一下对于一个串我们弄SAM出来利用的性质，我们只是利用了后缀的后缀也是后缀以及一个节点加上一个字符c后是不是仍然是后缀是确定的，在trie树上，叶子的缀的缀也是叶子的缀是显然的。现在SAM表达的含义是trie树上的节点，trans[u][c]表示的是在u这个点加上一个c字符后会到trie树上哪个点。

考虑以后我们之前的增量构造的含义，意义其实就是更新了到根的一条链的后缀，在这些后缀的后面加上一个字符。

一个构造方法是按照trie树bfs序构造。