20180527模拟赛T1——新田忌赛马

【问题描述】

(注：此题为d2t2-难度)

田忌又在跟大王van赛马的游戏

田忌与大王一共有2n匹马，每个马都有一个能力值x,1<=x<=2n且每匹马的x互不相同。每次田忌与大王放出一匹马，较大的获胜。但是田忌有一个能力，在任何比赛的开始前，他可以把马变成x较小的获胜，并一直持续到比赛结束

田忌可以一直不用这个能力，也可以在第一轮前使用

现在，田忌已经知道了大王的出马顺序，田忌要问聪明的你，他最多能获得几次胜利？

【输入格式】

第一行为一个整数：N(1<=N<=50000)接下来 一行n个数，为大王的顺序出场的n匹马的能力值（田忌的马可以通过此求出）

【输出格式】

一个整数，表示最多的获胜次数

【样例输入】

4

1

8

4

3

【样例输出】

3

【样例说明】

田忌第一次出能力为7的马获胜

第二次开始前使用能力，出能力为6的马获胜

第三次出能力为5的马失败

第四次出能力为2的马获胜

总共3次

【出题人的关怀】

乱搞出奇迹（雾）

大胆猜想，不要证明

【数据规模】

对于20%的数据，n<=10

对于40%的数据 n<=20

对于35%的数据，不使用能力也可获得最多胜利(即20个点中有7个点不使用能力的程序能过（雾）)

前3个档的总分为60分（出题人的关怀）

对于80%的数据，n<=5000

对于100%的数据，n<=50000,

【一些帮助】

大样例

一些帮助

题解

先贴一下出题人yk神犇的题解。

另外这位大佬在洛谷上也发了题解。

接下来是蒟蒻的题解：

首先，回顾田忌赛马，我们发现tj是每次出比大王稍微快一些的马（如果有的话）。那么如果tj用了技能，他显然应该出比大王稍微慢一些的马。于是我们就可以很容易知道tj不用技能或是刚开始就用技能的最佳方案。

我们令\(f[i]\)表示前\(i\)个每次都出比对方稍微大一点的牌，最多能赢几次；\(g[i]\)表示从\([i,n]\)中每次出比对方稍微小一点的牌，最多赢几次。

我们自然想到\(ans = max(f[i]+g[i+1]\mid i\in [0,n])\)，但这样显然是有重复的。

那么这样真的不可行吗？让我们冷静分析一下：

如图，对于一个\(i\)，如果有一匹马\(mid\)被选了两次：\(f\)数组对\(l\)，\(g\)数组对\(r\)。那么必定有一匹马没被\(f\)与\(g\)用过（多出来了），设其能力值为\(t\)。显然，\(t\notin[l,r]\)（不符合贪心规则）。不管这匹马在\(l\)左侧或是\(r\)的右侧，结果都是相同的。所以其实这个贪心思路是正确的。

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <set>

using namespace std;

const int maxn = 50005;

int f[maxn], g[maxn];
int n;

#define dd c = getchar()
inline int read(int& x)
{
	x = 0;
	char dd;
	bool f = false;
	for(; !isdigit(c); dd)
	{
		if(c == '-')
			f = true;
		if(c == EOF)
			return EOF;
	}
	for(; isdigit(c); dd)
		x = (x<<1) + (x<<3) + (c^48);
	if(f) x = -x;
	return 1;
}
#undef dd

set<int> zheng, fan;
set<int>::iterator z;

int dw[maxn];
bool whose[maxn<<1];

inline void get()
{
	read(n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		read(dw[i]);
		whose[dw[i]] = true;
	}
	for(int i = 1; i <= (n<<1); ++i)
	{
		if(!whose[i])
		{
			zheng.insert(i);
			fan.insert((n<<1)-i);
		}
	}
}

int main()
{
	freopen("horse.in", "r", stdin);
	freopen("horse.out", "w", stdout);
	get();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		z = zheng.upper_bound(dw[i]);
		if(z != zheng.end())
		{
			f[i] = f[i-1] + 1;
			zheng.erase(z);
		}
		else
			f[i] = f[i-1];
	}
	for(int i = n; i >= 1; --i)
	{
		z = fan.upper_bound((n<<1)-dw[i]);
		if(z != fan.end())
		{
			g[i] = g[i+1] + 1;
			fan.erase(z);
		}
		else
			g[i] = g[i+1];
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i <= n; ++i)//注意从0开始，可以不用技能
		ans = max(ans, f[i]+g[i+1]);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}