Jacobi-Gauss-Lobatto积分点和积分权

这次介绍的是关于Jacobi正交多项式的零点计算问题，谷歌学术里面可以搜索到很多相关学术文章。由于在Galerkin-Spectral方法中经常使用Jacobi正交多项式，所以整理了一些相关知识点。

Jacobi正交多项式的递推公式：

$J_0^{\alpha,\beta}(x)=1$, $\quad J_1^{\alpha,\beta}(x)=\frac12 (\alpha+\beta+2)x+\frac12(\alpha-\beta),$

$J_{n+1}^{\alpha,\beta}(x)=\Big(a_n^{\alpha,\beta}x-b_n^{\alpha,\beta}\Big)J_{n}^{\alpha,\beta}(x)-c_{n}^{\alpha,\beta}J_{n-1}^{\alpha,\beta}(x),\quad n\geq 1.$

其中

$a_n^{\alpha,\beta}=\frac{\big(  2n+\alpha+\beta+1 \big)\big(  2n+\alpha+\beta+2 \big)}{2\big(  n+1 \big)\big(  n+\alpha+\beta+1 \big)},$

$b_n^{\alpha,\beta}=\frac{\big(  \beta^2-\alpha^2 \big)\big(  2n+\alpha+\beta+1 \big)}{2\big(  n+1 \big)\big(  n+\alpha+\beta+1 \big)\big(  2n+\alpha+\beta\big)},$

$c_n^{\alpha,\beta}=\frac{\big(  n+\alpha \big)\big(  n+\beta\big)\big(  2n+\alpha+\beta+2 \big)}{\big(  n+1 \big)\big(  n+\alpha+\beta+1 \big)\big(  2n+\alpha+\beta\big)}.$

Jacobi正交多项式的导函数

$\partial_x J_{n}^{\alpha,\beta}(x)=\frac12\big(   n+\alpha+\beta+1 \big)J_{n-1}^{\alpha+1,\beta+1}(x),$

$\partial^k_x J_{n}^{\alpha,\beta}(x)=d_{n,k}^{\alpha,\beta}J_{n-k}^{\alpha+k,\beta+k}(x),\quad n\geq k.$

$d_{n,k}^{\alpha,\beta}=\frac{\Gamma(n+k+\alpha+\beta+1)}{2^k\Gamma(n+\alpha+\beta+1)}.$

Jacobi-Gauss-Lobatto 积分点和积分权：

积分点：$\{  x_j \}_{j-1}^{N-1}$是多项式$\partial_x J_{N}^{\alpha,\beta}(x)$的零点，也即正交多项式$\frac12\big(   N+\alpha+\beta+1 \big)J_{N-1}^{\alpha+1,\beta+1}(x)$的零点.

积分权：$w_0=\frac{2^{\alpha+\beta+1}(\beta+1)\Gamma^2(\beta+1)\Gamma(N)\Gamma(N+\alpha+1)}{\Gamma(N+\beta+1)\Gamma(N+\alpha+\beta+2)}=\frac{2^{\alpha+\beta+1}\Gamma(\beta+2)N!(\alpha+1)_N\Gamma(\alpha+1)}{(\beta+1)_N(\alpha+\beta+2)_N\Gamma(\alpha+\beta+2)},$

$w_N=\frac{2^{\alpha+\beta+1}(\alpha+1)\Gamma^2(\alpha+1)\Gamma(N)\Gamma(N+\beta+1)}{\Gamma(N+\alpha+1)\Gamma(N+\alpha+\beta+2)},$

$w_j=\frac{1}{1-x_j^2}\frac{G_{N-2}^{\alpha+1,\beta+1}}{J_{N-2}^{\alpha+1,\beta+1}\partial_x J_{N-1}^{\alpha+1,\beta+1}(x_j)},\quad 1\leq j\leq N-1,$

其中

$G_N^{\alpha,\beta}=\frac{2^{\alpha+\beta}(2N+\alpha+\beta+2)\Gamma(N+\alpha+1)\Gamma(N+\beta+1)}{(N+1)!\Gamma(N+\alpha+\beta+2)}.$