函数$f(x+1)$和$f(x-1)$的奇偶性

前言

廓清认知

1、函数$y=f(x)$的奇偶性

①$y=f(x)$为奇函数，则满足$f(-x)+f(x)=0$，即关于点$(0，0)$对称；

②$y=f(x)$为偶函数，则满足$f(-x)-f(x)=0$，即关于直线$x=0$对称；

③奇偶性的推广即为对称性，

比如函数满足$f(x)+f(2-x)=4$，则函数$y=f(x)$关于点$(1，2)$对称；

函数满足$f(x)-f(2-x)=0$，则函数$y=f(x)$关于直线$x=1$对称；

2、函数$y=f(x+1)$的奇偶性

比如函数$f(x+1)$为奇函数，则应该满足$f(-x+1)=-f(x+1)$，而不是$f(-x-1)=-f(x+1)$；

理解这句话要注意：

①、从数的角度思考，可以用特例验证，比如$f(x+1)=x^3$，

则用代换法得到$f(x)=(x-1)^3$，则$f(-x+1)=-x^3$，$f(x+1)=x^3$，

故满足$f(-x+1)=-f(x+1)$，

而$f(-x-1)=(-x-2)^2=-(x+2)^3$，故不满足$f(-x-1)=-f(x+1)$；

②、从形的角度理解，比如$f(x+1)=x^3$，则用代换法得到$f(x)=(x-1)^3$，很显然函数$f(x+1)=x^3$的对称中心是$(0，0)$，

而函数$f(x)=(x-1)^3$的对称中心是$(1，0)$；可以用图像变换来理解，函数$f(x+1)$的对称中心是$(0，0)$，

将它向右平移一个单位得到$f(x)$，故函数$f(x)$的对称中心是$(1，0)$；

③、函数的奇偶性变换针对的是单独的自变量$x$，而不是$x+1$这个整体；

④、我们其实可以用函数$y=f(x+1)$的奇偶性推出函数$f(x)$的对称性：

比如函数$f(x+1)$为奇函数，则应该满足$f(-x+1)=-f(x+1)$，即$f(-x+1)+f(x+1)=0$，

由于$\cfrac{(-x+1)+(x+1)}{2}=1$，$\cfrac{y_1+y_2}{2}=\cfrac{f(-x+1)+f(x+1)}{2}=0$，

这样我们就能得到函数$f(x)$的对称中心是$(1，0)$；

当然由此我们还可以写出表达式$f(x)+f(2-x)=0$，或者$f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{3}{2}-x)=0$；

这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。

再比如函数$f(x+1)$为偶函数，则应该满足$f(-x+1)=f(x+1)$，

这样我们就能得到函数$f(x)$的对称轴是直线$x=1$；

当然由此我们还可以写出表达式$f(x)=f(2-x)$，或者$f(\frac{1}{2}+x)=f(\frac{3}{2}-x)$；

这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。

3、函数$y=f(x-1)$的奇偶性

同上理解即可。

典例剖析

$f(x)$的对称轴为$x=0$，则$f(x)=f(-x)=f(|x|)$；则$f(M)\geqslant f(N)\Leftrightarrow$ $f(|M|)\geqslant f(|N|)$；

例1【2019届高三理科数学二轮资料用题】已知定义在$R$上的奇函数$f(x)$单调递增，且$g(x)=|f(x)|$，则不等式$g(x)-g(2x-6)<0$的解集是【】

$A(2，6)$ $B(-6，-2)$ $C(-\infty，2)\cup(6，+\infty)$ $D(-\infty，-6)\cup(-2，+\infty)$

分析：$g(x)$为偶函数，且在$[0，+\infty)$上单调递增，$g(|x|)<g(|2x-6|)$，故$|x|<|2x-6|$，解得 $x\in (-\infty，2)\cup(6，+\infty)$，故选$C$.

$f(x)$的对称轴为$x=1$，则$f(M)\geqslant f(N)\Leftrightarrow$ $f(|M-1|)\geqslant f(|N-1|)$；

例2【2018齐鲁名校教科研协作体山东湖北部分重点中学高考冲刺模拟，6】已知定义在$R$上的函数$f(x)$在$[1，+\infty)$上单调递减，且$f(x+1)$是偶函数，不等式$f(m+2)\geqslant f(x-1)$对任意的$x\in [-1，0]$恒成立，则实数$m$的取值范围是【】

$A.[-3，1]$ $B.[-4，2]$ $C.(-\infty，-3)\cup [1，+\infty)$ $D.(-\infty，-4)\cup [2，+\infty)$

分析：由于$f(x+1)$是偶函数，故$f(x)$的图像关于$x=1$对称，

由$f(m+2)\geqslant f(x-1)$得到，[说明：$f(x)$对称轴为$x=0$，则$f(x-1)$的对称轴为$x=1$；]

故$f(|(m+2)-1|)\geqslant f(|(x-1)-1|)$，又由于函数$f(x)$在$[1，+\infty)$上单调递减，

故$|(m+2)-1|\leqslant |(x-1)-1|$，即$|m+2|\leqslant |2-x|$对任意的$x\in [-1，0]$恒成立，

而右侧函数$y=|2-x|$在$x\in [-1，0]$上的最小值为$2$，

故得到$|m+1|\leqslant 2$，即$-3\leqslant m\leqslant 1$，故选$A$。

例3【学生问题】已知函数$f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}$，则满足$f(x-1)<e+e^{-1}$的$x$的取值范围是_____________。

说明：本例子能说明，为什么需要建立一些模型，如令$g(x)=e^x+e^{-x}$，则$f(x)=g(x-1)$，这样就能很容易画出其图像。

法1：数形结合，做出其图像，原不等式等价于$f(x-1)<f(0)$，$f(0)=f(2)$

document.getElementById("wh01").style.height=document.getElementById("wh01").scrollWidth*0.75+"px";

由图像可知，$0<x-1<2$，

解得$1<x<3$。故所求范围为$(1，3)$。

法2：利用对称性的性质求解，由上可知$g(x)=e^x+e^{-x}$为偶函数，在$(-\infty，0]$上单调递减，在$[0，+\infty)$上单调递增；

则$f(x)=g(x-1)$为对称轴为$x=1$的函数，在$(-\infty，1]$上单调递减，在$[1，+\infty)$上单调递增；

故由$f(x-1)<e+e^{-1}=f(0)$，则可知$f(|(x-1)-1|)<f(|0-1|)$，又由于在$[1，+\infty)$上单调递增；

则得到$|(x-1)-1|<|0-1|$，即$|x-2|<1$，即$-1<x-2<1$，

解得$1<x<3$，故所求范围为$(1，3)$。

延申链接

1、抽象函数性质的验证