函数$f(x+1)$和$f(x-1)$的奇偶性

前言

廓清认知

• 1、函数\(y=f(x)\)的奇偶性

①\(y=f(x)\)为奇函数，则满足\(f(-x)+f(x)=0\)，即关于点\((0，0)\)对称；

②\(y=f(x)\)为偶函数，则满足\(f(-x)-f(x)=0\)，即关于直线\(x=0\)对称；

③奇偶性的推广即为对称性，

比如函数满足\(f(x)+f(2-x)=4\)，则函数\(y=f(x)\)关于点\((1，2)\)对称；

函数满足\(f(x)-f(2-x)=0\)，则函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称；

• 2、函数\(y=f(x+1)\)的奇偶性

比如函数\(f(x+1)\)为奇函数，则应该满足\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，而不是\(f(-x-1)=-f(x+1)\)；

理解这句话要注意：

①、从数的角度思考，可以用特例验证，比如\(f(x+1)=x^3\)，

则用代换法得到\(f(x)=(x-1)^3\)，则\(f(-x+1)=-x^3\)，\(f(x+1)=x^3\)，

故满足\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，

而\(f(-x-1)=(-x-2)^2=-(x+2)^3\)，故不满足\(f(-x-1)=-f(x+1)\)；

②、从形的角度理解，比如\(f(x+1)=x^3\)，则用代换法得到\(f(x)=(x-1)^3\)，很显然函数\(f(x+1)=x^3\)的对称中心是\((0，0)\)，

而函数\(f(x)=(x-1)^3\)的对称中心是\((1，0)\)；可以用图像变换来理解，函数\(f(x+1)\)的对称中心是\((0，0)\)，

将它向右平移一个单位得到\(f(x)\)，故函数\(f(x)\)的对称中心是\((1，0)\)；

③、函数的奇偶性变换针对的是单独的自变量\(x\)，而不是\(x+1\)这个整体；

④、我们其实可以用函数\(y=f(x+1)\)的奇偶性推出函数\(f(x)\)的对称性：

比如函数\(f(x+1)\)为奇函数，则应该满足\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，即\(f(-x+1)+f(x+1)=0\)，

由于\(\cfrac{(-x+1)+(x+1)}{2}=1\)，\(\cfrac{y_1+y_2}{2}=\cfrac{f(-x+1)+f(x+1)}{2}=0\)，

这样我们就能得到函数\(f(x)\)的对称中心是\((1，0)\)；

当然由此我们还可以写出表达式\(f(x)+f(2-x)=0\)，或者\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{3}{2}-x)=0\)；

这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。

再比如函数\(f(x+1)\)为偶函数，则应该满足\(f(-x+1)=f(x+1)\)，

这样我们就能得到函数\(f(x)\)的对称轴是直线\(x=1\)；

当然由此我们还可以写出表达式\(f(x)=f(2-x)\)，或者\(f(\frac{1}{2}+x)=f(\frac{3}{2}-x)\)；

这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。

• 3、函数\(y=f(x-1)\)的奇偶性

同上理解即可。

典例剖析

• \(f(x)\)的对称轴为\(x=0\)，则\(f(x)=f(-x)=f(|x|)\)；则\(f(M)\geqslant f(N)\Leftrightarrow\) \(f(|M|)\geqslant f(|N|)\)；

例1【2019届高三理科数学二轮资料用题】已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)单调递增，且\(g(x)=|f(x)|\)，则不等式\(g(x)-g(2x-6)<0\)的解集是【】

$A(2，6)$ $B(-6，-2)$ $C(-\infty，2)\cup(6，+\infty)$ $D(-\infty，-6)\cup(-2，+\infty)$

分析：\(g(x)\)为偶函数，且在\([0，+\infty)\)上单调递增，\(g(|x|)<g(|2x-6|)\)，故\(|x|<|2x-6|\)，解得 \(x\in (-\infty，2)\cup(6，+\infty)\)，故选\(C\).

• \(f(x)\)的对称轴为\(x=1\)，则\(f(M)\geqslant f(N)\Leftrightarrow\) \(f(|M-1|)\geqslant f(|N-1|)\)；

例2【2018齐鲁名校教科研协作体山东湖北部分重点中学高考冲刺模拟，6】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)在\([1，+\infty)\)上单调递减，且\(f(x+1)\)是偶函数，不等式\(f(m+2)\geqslant f(x-1)\)对任意的\(x\in [-1，0]\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是【】

$A.[-3，1]$ $B.[-4，2]$ $C.(-\infty，-3)\cup [1，+\infty)$ $D.(-\infty，-4)\cup [2，+\infty)$

分析：由于\(f(x+1)\)是偶函数，故\(f(x)\)的图像关于\(x=1\)对称，

由\(f(m+2)\geqslant f(x-1)\)得到，[说明：\(f(x)\)对称轴为\(x=0\)，则\(f(x-1)\)的对称轴为\(x=1\)；]

故\(f(|(m+2)-1|)\geqslant f(|(x-1)-1|)\)，又由于函数\(f(x)\)在\([1，+\infty)\)上单调递减，

故\(|(m+2)-1|\leqslant |(x-1)-1|\)，即\(|m+2|\leqslant |2-x|\)对任意的\(x\in [-1，0]\)恒成立，

而右侧函数\(y=|2-x|\)在\(x\in [-1，0]\)上的最小值为\(2\)，

故得到\(|m+1|\leqslant 2\)，即\(-3\leqslant m\leqslant 1\)，故选\(A\)。

例3【学生问题】已知函数\(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}\)，则满足\(f(x-1)<e+e^{-1}\)的\(x\)的取值范围是_____________。

说明：本例子能说明，为什么需要建立一些模型，如令\(g(x)=e^x+e^{-x}\)，则\(f(x)=g(x-1)\)，这样就能很容易画出其图像。

法1：数形结合，做出其图像，原不等式等价于\(f(x-1)<f(0)\)，\(f(0)=f(2)\)

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由图像可知，\(0<x-1<2\)，

解得\(1<x<3\)。故所求范围为\((1，3)\)。

法2：利用对称性的性质求解，由上可知\(g(x)=e^x+e^{-x}\)为偶函数，在\((-\infty，0]\)上单调递减，在\([0，+\infty)\)上单调递增；

则\(f(x)=g(x-1)\)为对称轴为\(x=1\)的函数，在\((-\infty，1]\)上单调递减，在\([1，+\infty)\)上单调递增；

故由\(f(x-1)<e+e^{-1}=f(0)\)，则可知\(f(|(x-1)-1|)<f(|0-1|)\)，又由于在\([1，+\infty)\)上单调递增；

则得到\(|(x-1)-1|<|0-1|\)，即\(|x-2|<1\)，即\(-1<x-2<1\)，

解得\(1<x<3\)，故所求范围为\((1，3)\)。

延申链接

1、抽象函数性质的验证