AcWing 91. 最短Hamilton路径

今天第一次在\(AcWing\)这个网站上做题，来发一下此网站的第一篇题解

AcWing 91. 最短Hamilton路径

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思路

直接枚举的话时间复杂度为\(O(n*n!)\)

复杂度显然爆炸，所以我们用二进制枚举，这样就可以把复杂度降到\(O(n * 2^{n})\)

我们用\(f[i][j]\)表示走到j这个点，经过点的状态为\(i\)(\(i\)是二进制数，若\(i\)的二进制数下某一位为\(1\)则表示这个点已经走过了)

显然，转移方程为:\(f[i][j] = min(f[i][j], f[i ^ 1 << j][k] + a[k][j])\)（\(k\)为上一步走的点，\(i\)中必须包含\(k\)的时候才可以转移，这里加一个判断就好了）

最后的答案就存在\(f[(1<<n)-1][n-1]\)中（因为我这里是从\(0\)开始编号的）

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代码

//知识点:二进制状态压缩
/*
By:Loceaner
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

inline int read() {
	char c = getchar();
	int x = 0, f = 1;
	for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
	return x * f;
}

const int N = 20;

int n, a[N][N], f[1 << N][N];

int main() {
	n = read();
	for(int i = 0; i < n; i++)
		for(int j = 0; j < n; j++)
			a[i][j] = read();
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[1][0] = 0;
	for(int i = 1; i < 1 << n; i++)
		for(int j = 0; j < n; j++)
			if(i >> j & 1)
				for(int k = 0; k < n; k++)
					if((i ^ 1 << j) >> k & 1)
						f[i][j] = min(f[i][j], f[i ^ 1 << j][k] + a[k][j]);
	cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << '\n';
	return 0;
}