LOJ2026 JLOI/SHOI2016 成绩比较 组合、容斥

传送门

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感觉自己越来越愚钝了qwq

先考虑从\(n-1\)个人里安排恰好\(k\)个人被碾压，然后再考虑如何分配分数，两者乘起来得到答案。

对于第一部分，可以考虑容斥：设\(f_i\)表示\(i\)个人被碾压，其他人随意分配是否被碾压的方案数，我们考虑所有比B成绩高的科目一定是由剩余的\(N-1-i\)个人构成，所以\(f_i = \prod\limits_{j=1}^M \binom{N - 1 - i}{r_j - 1}\)。那么我们要求的这一部分的答案就是\(\binom{N-1}{k} \sum\limits_{i=K}^{N-1} (-1)^{i-K} f_i \binom{i}{K}\)。

（悄悄说一句如果这里的容斥系数写成了\((-1)^{i-K}\)竟然有90分）

再考虑第二问。我们如果对于所有科目枚举B的分数，那么可以得到答案为\(\prod\limits_{i=1}^M \sum\limits_{j=1}^{u_i} j^{N-r_i} (u_i - j)^{r_i-1}\)。但是\(u_i\)太大而\(N\)很小，所以我们可以考虑枚举\(N\)个人总共出现的分数种数。又设\(g_{i,j}\)表示对于第\(i\)个学科，有\(j\)种分数分配给\(N\)个人的方案数，那么\(g_{i,j} = \sum\limits_{k=1}^{j} k^{N-r_i} (j - k)^{r_i-1}\)

我们知道如果恰好出现了\(j\)种分数，那么它的方案数乘上\(\binom{u_i}{j}\)就可以贡献答案，但是\(g_{i,j}\)显然求出的不只是出现\(j\)种分数的方案数，因为有可能某些分数没有出现，所以再次考虑容斥。设\(h_{i,j}\)表示对于第\(i\)个学科，恰好有\(j\)种分数出现的方案数，那么\(h_{i,j} = g_{i,j} - \sum\limits_{k=1}^{j-1} \binom{j}{k} h_{i,k}\)。这样就可以算出与上面\(O(\sum u_i)\)的式子结果相同的式子，而复杂度降为\(O(m^2n)\)。

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