CodeForces 516A Drazil and Factorial 动态规划

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题目传送门 - CodeForces 516A

题意

　　对于一个正整数$x$，$f(x)=x$各个数位的阶乘之积。

　　给定一个数$a$，满足$f(a)>1$，求一个最大的不含有$0$或者$1$的$x$满足$f(x)=f(a)$。

　　$a<10^{16}$

题解

　　我们将$f(a)$分解质因数并统计各个质因数个数作为状态。

　　首先考虑到每一个数位都是$2$~$9$的，质因数只可能有$4$种。

　　而且，即便是贡献最大的$9$，也只会贡献$7$个质因数$2$、$4$个质因数$3$、$1$个质因数$5$和$1$个质因数$7$。

　　考虑到$a$最多只有$15$位，所以质因数$2,3,5,7$的总个数最多分别为$105,60,15,15$。

　　我们用$dp[s2][s3][s5][s7]$来表示$f(x)=2^{s2}3^{s3}5^{s5}7^{s7}$的最大$x$。

　　显然这个$x$会很大，为了避免写高精度，我们可以这样考虑：

　　由于我们只需要知道$x$分别由几个$2$、几个$3$、…、几个$9$组成，就可以唯一确定一个最大的$x$。（按照顺序从大到小）

　　所以，我们考虑换一种储存方式。考虑到$2$最多只有$105$个，所以我们可以给每一个数字$7$个二进制位（事实上我代码里只有$6$位压缩也过了），每$7$个二进制位里面保存着他所代表的数的个数信息。由于只需要保存$8$个数字的信息，所以总共需要$56$个二进制位，开$64$位整型即可。至于比较大小，太简单不多说。

　　然后，对于当前状态，从$2$到$9$枚举之前放了哪一个数字，然后根据之前的转移即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=20,S2=105,S3=60,S5=15,S7=15;
int n,tot[4];
LL dp[S2+1][S3+1][S5+1][S7+1];
int lists[N][4]={
{0,0,0,0},
{0,0,0,0},
{1,0,0,0},
{0,1,0,0},
{2,0,0,0},
{0,0,1,0},
{1,1,0,0},
{0,0,0,1},
{3,0,0,0},
{0,2,0,0}
};
char s[N];
int cntd(LL x){
	int tot=0;
	for (int i=9;i>=2;i--)
		tot+=x&63LL,x>>=6;
	return tot;
}
bool bigger(LL a,LL b){
	int c1=cntd(a),c2=cntd(b);
	if (c1!=c2)
		return c1>c2;
	for (int i=9;i>=2;a>>=6,b>>=6,i--)
		if ((a&63LL)!=(b&63LL))
			return (a&63LL)>(b&63LL);
	return 0;
}
int main(){
	scanf("%d%s",&n,s);
	for (int i=2;i<=9;i++)
		for (int j=0;j<4;j++)
			lists[i][j]+=lists[i-1][j];
	memset(tot,0,sizeof tot);
	for (int i=0;i<n;i++)
		for (int j=0;j<4;j++)
			tot[j]+=lists[s[i]-'0'][j];
	memset(dp,-1LL,sizeof dp);
	dp[0][0][0][0]=0;
	for (int s2=0;s2<=tot[0];s2++)
		for (int s3=0;s3<=tot[1];s3++)
			for (int s5=0;s5<=tot[2];s5++)
				for (int s7=0;s7<=tot[3];s7++)
					for (int i=2;i<=9;i++){
						int t2=s2-lists[i][0];
						int t3=s3-lists[i][1];
						int t5=s5-lists[i][2];
						int t7=s7-lists[i][3];
						if (t2<0||t3<0||t5<0||t7<0)
							continue;
						if (dp[t2][t3][t5][t7]==-1)
							continue;
						LL now=dp[t2][t3][t5][t7]+(1LL<<((9-i)*6));
						if (dp[s2][s3][s5][s7]==-1||bigger(now,dp[s2][s3][s5][s7]))
							dp[s2][s3][s5][s7]=now;
					}
	LL x=dp[tot[0]][tot[1]][tot[2]][tot[3]];
	for (int i=9;i>=2;i--,x>>=6)
		for (int j=0;j<(x&63LL);j++)
			putchar('0'+i);
	return 0;
}