Luogu P2148 [SDOI2009]E&D

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蒟蒻的人生第一道博弈论。真吉尔难啊。。。。

通常的博弈论写法似乎都是\(SG\)函数打表猜规律。本蒻其实本来想学一下博弈论的证明的，但后来发现果然还是打表快速又好用。

这个题中的模型可以拆分成\(n/2\)个游戏。对每个游戏的每堆石子单独打表，求其\(SG\)函数，可以得到结论：大小为\(N\)的石子堆，其拆分为两堆后对应的后继\(SG\)函数\(mex\)值为\(N-1\)。最终利用\(SG\)函数的性质，把每个游戏的\(SG\)函数合并，就是所求最初状态的\(SG\)函数。

打表代码：（感谢 @FlashHu 的题解）

#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 10;
const int M = N + 1;//随便调大小

int ans[M][M];
bitset <M> s[M];

int mex (bitset <M> b) {
    int res = 0;
    while (b[res]) ++res;
    return res;
}

int main () {
    for(int i = 2; i <= N; ++i) {
        for (int j = 1, k = i - 1; k; ++j, --k) {
            s[i].set (ans[j][k] = mex (s[j] | s[k]));//枚举合并
		}
	}
    for (int i = 0; i < N; ++i) printf ("%3d", i); printf ("\n");
    for (int i = 1; i < N; ++i){//输出矩阵
        printf ("%2d:", i);
        for (int j = 1; i + j <= N; ++j) {
            printf ("%3d", ans[i][j]);
		}
        printf ("\n");
    }
    for(int i = 1; i <= N; ++i) {//输出对于每一个a，所有c+d=a的(c,d)的SG值集合
        printf ("%2d:SG%d ", i, mex (s[i]));
        cout << s[i] << endl;
    }
    return 0;
}

\(STD:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int T, n, x, y, z, cnt, ans;

int main () {
	cin >> T;
    while (T--) {
        ans = 0;
		cin >> n; n >>= 1;
        while (n--) {
            cnt = 0;
			cin >> y >> z;
            x = (y - 1) | (z - 1);
            while (x & 1) {
				++cnt;
				x >>= 1;
            }
			ans ^= cnt;
        }
        puts (ans ? "YES" : "NO");
    }
    return 0;
}

注意最终求的\(cnt\)，其实也就是把两堆石子的\(SG\)合并，得到的单个游戏的\(SG\)函数值。