【原创】POJ 3259 Wormholes(Bellman-Ford) && 简介Bellman-Ford算法

【原创】

题目大意

John有N个农场，一共有M条边，在农场上出现了W个虫洞(W是一条边)，其中M是双向普通边，W是单向虫洞边。John穿行于农场之间每经过一条边(S到E)的时间为+T，每经过虫洞会时间倒流，经过-T。问John会不会在某一刻看到以前的自己。这个题目即问的是，存不存在负权环。bollman_ford

先粘一下百度百科的话：

Bellman - ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。其原理为持续地进行松弛（原文是这么写的，为什么要叫松弛，争议很大），在每次松弛时把每条边都更新一下，若在n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，因此无法得出结果，否则就完成。Bellman - ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个标识flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间去做没有必要的松弛，而SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动数组等优化。

首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行第1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

注意：上述只对正权图有效。如果存在负权不一定第i次就能确定最短路，且与边的顺序有关。

如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

如果有负权回路，那么第 |v| 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

这其他的不多说，先说一下松弛计算，其实就是更新距离嘛，这种思想在运筹学好像称之为松弛，我们知道，假如图中的边全部为正权边就一定会有最短路径，假如存在负权环，那么每走一圈，起点的权值就会比原来小，那么你走无数圈，你的权值就会无限减小。那么百度百科的意思就是，你先做标准次数的距离更新(理论上讲已经无法再更新了)，假如你再一次更新距离，如果还能更新，就一定存在负权环咯。

 /*题目大意
   John有N个农场，一共有M条边，在农场上出现了W个虫洞(W是一条边)，其中M是双向普通边
   ，W是单向虫洞边。John穿行于农场之间每经过一条边(S到E)的时间为+T，每经过虫洞会时
   间倒流，经过-T。问John会不会在某一刻看到以前的自己。
   这个题目即问的是，存不存在负权环。bollman_ford
 */

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<memory.h>
 #define max 9999999
 using namespace std;
 int n,m,w,top;
 typedef struct
 {
     int x,y,t;
 } e;
 e edge[];

 bool bellman_ford(int en)//en = top-1,即边的数量
 {
     int dis[],u,v,w;
     for(int i=;i<=n;i++) dis[i] = max;
     dis[] = ;
     for(int i=;i<n-;i++)　　　　//百科说:首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。
     {
         //for(int k=1;k<=n;k++)   printf("%d ",dis[k]);
         for(int j = ;j <= en;j++)
         {
             u = edge[j].x;
             v = edge[j].y;
             w = edge[j].t;
             if(dis[u]<max && dis[u]+w < dis[v])
             {
                 dis[v] = dis[u]+w;
             }
         }
     }
     for(int i=;i<=en;i++)
     {
         u = edge[i].x;
         v = edge[i].y;
         w = edge[i].t;
         if(dis[u]<max && dis[u]+w<dis[v])
         {
             return true;//极限更新n-1，我们再更新en次，如果还能再更新，那返回TRUE表示存在负权环
         }
     }
     return false;//不能再更新了，返回FALSE
 }
 int main(){
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--){
         top = ;
         scanf("%d %d %d", &n, &m, &w);
         for(int i=; i<m; i++){
             int a,b,c;
             scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
             edge[top].x = a;
             edge[top].y = b;
             edge[top].t = c;
             top++;
             edge[top].x = b; //这里一定要注意，普通的边是双向的，所以要重新反过来存一次
             edge[top].y = a;
             edge[top].t = c;
             top++;
         }
         for(int i=; i<w; i++){
             int a,b,c;
             scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
             edge[top].x = a;
             edge[top].y = b;
             edge[top].t = -c;  //虫洞是负的且是单向所以  取负  只用存一次
             top++;
         }
         if(bellman_ford(top-)) printf("YES\n");
         else printf("NO\n");
     }
 }