BestCoder18 1002.Math Problem(hdu 5105) 解题报告

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5105

题目意思：给出一个6个实数：a, b, c, d, l, r。通过在[l, r]中取数 x，使得这个函数 f(x)= |a∗x3+b∗x2+c∗x+d| 最大。

我一开始做的时候，很天真的认为数据量这么小，一个一个试，暴力搜就肯定能得到答案啦。但是一个很严重的问题是，x 没有说是实数还是整数，所以枚举根本不可行。

　　于是就联想到应该使用高中求一元三次方程的方法来做。我当时是直接从 f(l), f(r)，f(x1)，f(x2)（x1、x2代表方程两个根）中选择最大的来输出，但是没有考虑是否在[l, r]范围内，竟然过了，那个开心啊。可想而知最后被 hack 了，连终评都到达不了，泪～～～

　　后来认认真真复习了具体求解方法，于是很正规地做：对ax^3 + bx^2 + c*x + d求导，得到一元二次方程 3ax^2 + 2bx + c，用delta（那个高中经常用到的三角形Δ）讨论根的情况，画出二次函数图象，根据单调性再画出原函数大致走向，再讨论根是否在区间[l, r]上来选择应该输出哪个f()。前前后后做了31次。那 30 次当中，知道自己很多的不足：

（1）竟然用 abs 来求浮点数绝对值，实际上是用 fabs！

（2）浮点数跟 0 比较是不可行的，要设定一个可接受的误差 eps，例如为1e-9，如果 < eps 就代表是 < 0 的。

（3）在做 delta 运算之前，漏了 a == 0（对应代码中 fabs(a) < eps） 的判断，这关乎到根存不存在的问题: 如果 b < eps（表示 b == 0），就代表无解啦，否则就有一个根 x = (-c) / (2b)

（4）最最致命的一点，就是按传统解题步骤做！今天在课上终于想明白为什么这样中规中矩做是不可行的，两天的努力没有白费了。试想下，这样做的情况非常多！

　　举个例子吧，假设我们已经知道 a != 0 啦，很自然地进行delta讨论啦，假设讨论到 delta > 0（其实delta = 0可以归为该类情况） 的情况，也就是有x1, x2两个根啦。然后根据在 x 坐标轴以上表示原函数递增，以下原函数递减，最后对应到原函数（ax^3 + bx^2 + c*x + d）画出大致走向，再根据 x 的位置来判断是否应该计算f(x)（包含f(x1), f(x2)），最后选出f(x), f(l)，f(r)最大的那个输出。真的是复杂到不能再复杂啦。

我当时就在想为什么是错的，因为原函数不是单纯的 ax^3 + bx^2 + c*x + d，而是这个东西的绝对值！绝对值意味着这个东西的最小值或者最大值就是答案。而我常规做的，是非绝对值的情形，所以势必会漏了不容易觉察的情况。

那么最简单，最靠谱，最正确的方法就是，除了那种 a == 0 && b == 0 没根（不用算x）的情况，其他都需要算f(x)，然后选出最大的，前提是 x 在 [l, r]之间。

　　这里补充说明一点，为什么我说的进行到 delta 判断中，可以将 delta < 0 与 delta >= 0 一并讨论，因为始终只会算出 x 在 [l, r]的 f(x)，也就是不在或者不存在（对应delta < 0）的话就不计算（函数是返回-1），那么delta < 0 其实就是选择f(l)、 f(r)较大的一个输出。至于delta = 0，虽然只有一个根，即x1, x2相等，也不影响合并。

辛苦读者看我这篇长篇大论，不过通过这题真的学到很多，多想一个为什么一定会有所进步的！^_^ !

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 using namespace std;

 const double eps = 1e-;
 double a, b, c, d, l, r;

 double get_max(double x, double y)
 {
     if (x > y)
         return x;
     return y;
 }

 double cal(double x)
 {
     if (x >= l && x <= r)               // 前提是在[l, r] 之间
         return fabs(a*x*x*x + b*x*x + c*x + d);
     return -;
 }

 int main()
 {
     while (scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &d, &l, &r) != EOF)
     {
         double fl = cal(l);
         double fr = cal(r);
         double ans = get_max(fl, fr);

         if (fabs(a) < eps)        // a == 0
         {
             if (fabs(b) < eps)    // b == 0，无解
                 printf("%.2lf\n", ans);
             else
             {
                 double x = -c/(*b);    // 导数为一次函数，原函数为二次函数
                 printf("%.2lf\n", get_max(ans, cal(x)));
             }
         }
         else      // delta 环节
         {
             double delta = *b*b - *a*c;
             delta = sqrt(delta);
             double x1 = (-*b - delta) / (*a);
             double x2 = (-*b + delta) / (*a);
             double tans = get_max(cal(x1), cal(x2));
             printf("%.2lf\n", get_max(ans, tans));
         }
     }
     return ;
 }