【集训笔记】母函数【母函数模板】【HDOJ1028【HDOJ1085

以下资料摘自 http://www.cnblogs.com/wally/archive/2012/07/13/hdu1028_1085_1171_.html

生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数，看到最多的是这样两句话：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

例子：

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚，问能称出哪几种重量？每种重量各有几种方案？

下面是用母函数解决这个问题的思路：

首先，我们用X表示砝码，X的指数表示砝码的重量。那么，如果用函数表示每个砝码可以称的重量，

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示，

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示，

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘，可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘，得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

接着把它与X^0+X^4相乘，最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

由于X的指数表示的是重量，所以，在相乘时，根据幂的运算法则（同底幂相乘，指数相加），得到的结果正是所有的方案。而且，每个X前面的系数代表它有几种方案。

需要注意的是，如果有2个1克的砝码，应该用X^0 + X^1 + X^2表示，而不是X^0 + 2*X^1。

母函数还可以解决其他问题，比如，整数划分。

整数划分是个很经典的问题，划分规则就不再细述，直接说思路。与上面的问题相比，每种砝码的个数不再是1个，而是无限个。于是，

1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示，

2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示，

3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示，

依次类推。

相乘后求出X^n的系数，就是结果。

总而言之，解决此类问题，只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组，c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数，c2[ ]保存每次计算时的临时结果，当每次计算完毕后，把它赋给c1，然后c2清零。

计算的时候，开3层for循环。最外层，记录它正在与第几个多项式相乘。第二层，表示c1中的每一项，第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

hdu 1028 整数分解【模板】：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int lmax=;
 int c1[lmax],c2[lmax];
 //G(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+...)*(1+x^3+x^6+...)+..
 int main()
 {
     int n;
     while(cin>>n)
     {
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             c1[i]=;//用来保存当前得到的多项式的各项系数
             c2[i]=;//用来保存每次计算时的临时结果
         }
         for(int i=;i<=n;i++)//记录c1正在与第几个多项式进行运算
         {
             for(int j=;j<=n;j++)//c1中的每一项前的系数
             {
                 for(int k=;k+j<=n;k+=i)//表示被乘多项式的每一项的系数
                 {
                     c2[k+j]+=c1[j];//每计算一次并把它赋给用于临时保存数据的c2
                 }
             }
             for(int j=;j<=n;j++)
             {
                 c1[j]=c2[j];//每次计算完毕后，就把它赋给c1
                 c2[j]=;//然后c2清零
             }
         }
         cout<<c1[n]<<endl;
     }
 }

HDOJ1085：Holding Bin-Laden Captive!

这题WA了几次后发现，是在特殊处理时候不到位导致的= = ，比如：

input:

output:

这是错的= = 应该为：

input:

output:

自己按照模板打的代码：

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>

 int main(){
     int i,j,x,y,z,max,min;
     int c1[],c2[];
     while(EOF != scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)){
         max = x +  * y +  * z;
         min = max+;
         if(x ==  && y ==  && z == )  break;
         memset(c1,,sizeof(c1));
         memset(c2,,sizeof(c2));
         for(i=;i<=x;i++)
             c1[i] = ;
         for(i=; i<=x; i++)
             for(j=; j<=y*; j+=)
                 c2[j+i] += c1[i];
         for(i=;i<=x+*y;i++){
             c1[i] = c2[i];
             c2[i] = ;
         }
         for(i=; i<=x+*y;i++)
             for(j=; j<=z*; j+=)
                 c2[j+i] += c1[i];
         for(i=;i<=x+*y+*z;i++){
             c1[i] = c2[i];
             c2[i] = ;
         }
         for(i=;i<=max;i++){
             if(c1[i] == ){
                 min = i;
                 break;
             }
         }
         printf("%d\n",min);
     }
     return ;
 }