HDU 4865 Peter's Hobby(2014 多校联合第一场 E)(概率dp)

题意：已知昨天天气与今天天气状况的概率关系（wePro），和今天天气状态和叶子湿度的概率关系(lePro)
第一天为sunny 概率为 0.63,cloudy 概率 0.17,rainny 概率 0.2.
给定n天的叶子湿度状态，求这n天最可能的天气情况

分析：概率dp
设 dp[i][j] 表示第i天天气为j的最大概率，
pre[i][j]表示第i天天气最可能为j的前一天天气，
dp[i][j]=max(dp[i-1][k]+log(wePro[k][j])+log(lePro[j][lePos[i]])) (k=0,1,2 表示昨天的天气）

注：由于概率越乘越小，考虑精度原因，用log取对数
log(a*b*c) = log a + log b +log c

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<math.h>
 char yezi[][]= {"Dry","Dryish","Damp","Soggy"};
 char wea[][]= {"Sunny","Cloudy","Rainy"};
 double yeP[][]= {0.6,0.2,0.15,0.05,
                    0.25,0.3,0.2,0.25,
                    0.05,0.10,0.35,0.50
                   };
 double weaP[][]= {0.5,0.375,0.125,
                     0.25,0.125,0.625,
                     0.25,0.375,0.375
                    };
 double init[]= {0.63,0.17,0.2};
 double dp[][],pre[][];
 int n;
 double maxp;
 int Pos[];
 void solve()
 {
     for(int i=; i<; i++)
     {
         dp[][i]=log(init[i])+log(yeP[i][Pos[]]);
                  //第1天天气为i的概率=初始的天气为i的概率*（第一天叶子为Pos[1]的的状态下天气为i的概率）
     }
     for(int i=; i<=n; i++) //
     {
         for(int j=; j<; j++) //天气
         {
             double maxp=-1e8;
             int pos=;//记录天气
             for(int k=; k<; k++) //第i-1天天气为k
             {
                 double temp=dp[i-][k]+log(weaP[k][j])+log(yeP[j][Pos[i]]);
                 //昨天天气为k的概率*昨天天气为k今天天气为j的概率*叶子状态为Pos[i]时天气为j的概率
                 if(temp>maxp)
                 {
                     maxp=temp;
                     pos=k;//记录最有可能的天气状况为k
                 }
             }
             dp[i][j]=maxp;//第i天天气状况为j的概率
             pre[i][j]=pos; //表示第i天天气最可能为j的前一天天气
         }
     }
 }
 int main()
 {
     int k=;
     int T;
     char yeC[];
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         k++;
         printf("Case #%d:\n",k);
         scanf("%d",&n);
         for(int i=; i<=n; i++)
         {
             scanf("%s",yeC);
             for(int j=; j<; j++)
                 if(strcmp(yeC,yezi[j])==)
                 {
                     Pos[i]=j;
                     break;
                 }
         }
         solve();
         double maxp=-1e8;
         int ans[];
         for(int i=; i<; i++)//第n天最有可能的天气
             if(dp[n][i]>maxp)
             {
                 maxp=dp[n][i];
                 ans[n]=i;
             }
          for(int i=n-;i>=;i--)
             ans[i]=pre[i+][ans[i+]];  //由最后一天往前找每天的天气状况记录在ans 中
         for(int i=;i<=n;i++)
             printf("%s\n",wea[ans[i]]);
     }
     return ;
 }

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本题属于 隐马尔可夫模型
马尔可夫模型:统计模型，每个状态只依赖于之前的状态

马尔可夫模型可用马尔可夫过程描述
我们就为上面的一阶马尔科夫过程定义了以下三个部分：
　　状态：晴天、阴天和下雨
　　初始向量：定义系统在时间为0的时候的状态的概率
　　状态转移矩阵：每种天气转换的概率
　　所有的能被这样描述的系统都是一个马尔科夫过程。

隐马尔可夫模型 (Hidden Markov Model) 是一种统计模型，用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。
包含隐藏状态 （如：天气状态）和 可观状态（如：叶子的湿度）
可以观察到的状态序列和隐藏的状态序列是概率相关的