[AGC043B] 123 Triangle

个人思路：

首先，经过 \(1\) 轮就没有 \(3\) 了。

先考虑能否递推前 \(i\) 个数的答案，发现不行。

再考虑能否推出 \(i\) 个数的答案的计算公式，也发现不行。

然后就不会了。

正解：

首先，经过 \(1\) 轮就没有 \(3\) 了，只剩 \(0,1,2\)，答案必然为三者之一。

我们发现，除非某行出现了全是 \(1\) 的情况，否则该行一定有 \(1\) 与 \(2\) 或 \(0\) 相邻，\(1\) 会留到下一行。这样 \(1\) 就会留到最后。如果出现了全是 \(1\) 的情况，下一步序列里全是 \(0\)。

如果第 \(2\) 行有 \(1\)，答案要么是 \(0\) 要么是 \(1\)，这个时候只需要判断答案奇偶性。\(|a-b|\) 和 \(a+b\) 在模 \(2\) 意义下是相等的。把操作的 \(|a-b|\) 视为 \(a+b\)，我们可以计算第 \(2\) 行的第 \(i\) 个数在答案中计算了多少次。这个东西可以递推，但是复杂度会爆炸。我们发现这个数的递推式等价于组合数的递推式，因此次数为 \(C_{n-2}^{i-1}\)

答案即为 \(\sum\limits_{i=1}^{n-1} f_{2,i} \times C_{n-2}^{i-1} \mod 2\)。

如果第 \(2\) 行没有 \(1\)，两个偶数相减不可能出现奇数，答案要么是 \(0\) 要么是 \(2\)。我们直接把所有数除以 2，这样也转为判断奇偶性的问题，答案乘上 \(2\) 就行了。