SP2742题解

晚自习用10min推出结论，太屑了

设 \(S=\sum_{i=1}^n a_i\)，很显然每个位置的答案 \(ans_i\) 只和 \(a_i\) 和 \(S\) 有关。让我们打个表，找一下规律：

\[a_i
\]

\[S-a_i
\]

\[nS-2S+a_i
\]

\[n^2S-3nS+3S-a_i
\]

\[n^3S-4n^2S+6nS-4S+a_i
\]

我们发现系数是杨辉三角，也就是二项式系数。

所以答案是：

\[\sum_{i=0}^{T-1}\binom T i(-1)^in^{T-i-1}S+(-1)^Ta_i
\]

二项式定理化简一下，答案就是 \(\frac {(n-1)^T+(-1)^{T+1}} n \times S+(-1)^Ta_i\)。

有没有什么严格的证明？

这里需要用到生成函数。

设 \(f_{T,i}\) 是变换 \(T\) 次后，\(n^{i-1}S\) 的系数。

很明显有 \(f_{T,i}=nf_{T-1,i-1}-f_{T-1,i}\)。

设 \(F_T(x)=\sum_{i=0}^T f_{T,i}x^i\)，我们要求的就是 \(\frac {F_T(n)-f_{T,0}} n \times S+f_{T,0}a_i\)。

考虑 \(F_T(x)\) 与 \(F_{T-1}(x)\) 的关系，如果将上面的递推式中的 \(n\) 看做 \(x\)，很明显有 \(F_T(x)=(x-1)F_{T-1}(x)\)。

而我们又知道 \(F_0(x)=1\)，所以 \(F_T(x)=(x-1)^T\)。