刷题记录：Codeforces Round #719 (Div. 3)

Codeforces Round #719 (Div. 3)

20210703。网址：https://codeforces.com/contest/1520。

没错，我是个做div3的蒟蒻……

A

大水题。

B

所有数位都一样的数是【ordinary数】（如1，22，333）。给一个数n，问小于等于n的【ordinary数】有多少。

直接用一个数组记录【ordinary数】，然后以n为key对数组进行二分搜索，返回的下标就是答案。二分搜索：STL的lower/upper_bound。

怎么得到这个数组呢？数组长这个样子，1-9，11-99，111-999。1-9先初始化好，11-99可以由1-9得到，111-999进而用11-99得到。a[i]=a[i-9]*10+i%9+1，差不多这样的形式。

C

给一个n，用1到n*n的所有数，构造n*n的“不相邻矩阵”（就是，对于相邻的cell，数值不相邻）。

数值的相邻就是只差1。比如说，“1 2”“2 1”是相邻的，“1 3”“4 1”就不是相邻的。

如果可以构造出来，就输出这个矩阵。如果不能，就输出-1。

发现1可以（输出就是1），2不行。然后对于n≥3时，可以这样构造：

\[\begin{matrix}
1 & n+1 & \cdots & (n-1)n+1\\
(n-1)n+2 & 2 & \cdots & (n-2)n+2\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n+(n-1) & 2n+(n-1) & \cdots & n-1
\end{matrix}
\]

错位一下。

D

我们有一个n个整数的数组，统计一种pair的个数。

什么样的pair呢？i<j且a_j-a_i=j-i。

这个我一开始居然没想到怎么做……其实很简单。

\[a_j-a_i=j-i
\\
a_j-j=a_i-i
\]

就是这样！读入的时候就记录a[i]-i，然后对这个一通排序，对所有相等的值算一个\(C_n^2\)组合数，求和就ok了。

好像需要long long。

E

有点像华容道，只不过是1维的。

n个位置，每一个位置有物品/空着，移动物品多少次可以使所有物品聚在一起？

移动物品一次：把【一个】物品移动【一个位置】。

分析一下：

假设现在有两堆物品，左边一堆共a个物品，右边一堆共b个物品，它们之间距离是l。我们要把它们移成一堆。左边一堆往右移x，右边一堆往左移y，cost是ax+by，其中x+y=l。为了让cost更小，我们会让物品更少的那一堆移动，物品更多的堆原地不动。

想想一个坐标把这n个位置分成两半，我们把这个坐标叫做分割线。【分割线两侧的物品一定会分别聚成两堆】。因为它们最终要聚成一堆，如果最终这一堆物品的中心在左边，那么左边的物品围绕这个中心聚起来，右边的物品迁徙到紧靠分割线。最终物品中心在右边也是一样。不过这是感性的想法，（也不想去严格证明）。

所以，如果分割线两侧物品数量相等呢？分割线两侧的两堆物品数量相等，意味着哪一堆移动都无所谓，为什么不两堆一块移，一起向分割线聚拢呢？此时我们意识到，这样的分割线就是最终物品堆的中心！

所以，第一步把序列扫一遍确定物品个数，第二步把序列再扫一遍确定分割线位置。然后，对于左边的每一个物品，一个一个移动到中间并记录次数，右边也是如此。

F

读题读了半天……

有一个只有01的数组，我们要找第k个0的位置。我们可以发起询问，格式是“[l,r]的总和是多少”，通过简单处理就可以得到“[l,r]内有多少个0”的信息。

我们有t个询问，每个询问给出一个k，问第k个0的位置。并且，对于每一个被询问的0，我们找到它之后，它都会变成1。

举个例子：000。第一个0的位置是1，（然后0->1，变成100），再问第一个0的位置就是2了。

对于每一个询问，我们都二分搜索来找。为了问尽可能少的次数，我们记忆化搜索。维护一个数组dp，dp[i]表示[1,i]中有多少个0。（因为发现空间不够开二维dp数组。）

正确性：问“[l,r]中多少个0”的时候，第一种情况：l=1，得到的就是dp[r]；第二种情况：l不是1，此时我们已经搜过l之前的位置，发现[1,l-1]并没有那么多0，所以转而搜l后面的位置，所以dp[l-1]已经被算过，【[l,r]中0的个数】=dp[r]-dp[l-1]，可以顺利得到dp[r]。

询问结束后0->1的处理：操作dp数组，for i从pos到n做--dp[i]，如果dp[i]已经被算过。

G

在一个地图里从左上角跑到右下角。地图的每一个位置是障碍（-1），空地（0），传送器（大于0的整数cost）。可以从一个传送器瞬移到另一个传送器，代价是两个传送器的cost相加。

首先明确一个事情。如果我们要用传送器，肯定只传送1次。我们从A传送到B，然后几经辗转跑到C再传送到D，B的代价、C的代价、B跑到C的代价都大于0，所以为什么不直接从A传送到D呢？

明确了这个之后，就好办多了！最优路线只可能有两种，要不是直接跑，要不是中间传送一次。

对于传送的方案，从左上角开始用bfs算【每一个传送器离左上角的距离+传送器本身cost】然后选值最小的，从右下角开始用bfs算【每一个传送器离右下角的距离+传送器本身cost】然后选值最小的，相加。

对于直接跑的方案，直接从左上角bfs到右下角。