LOJ6029「雅礼集训 2017 Day1」市场 （线段树）

题面

从前有一个学校，在

O

n

e

I

n

D

a

r

k

\rm OneInDark

OneInDark 到任之前风气都是非常良好的，自从他来了之后，发布了一系列奇怪的要求，挟制了整个学校，导致风气的衰落。

有

n

n

n 个班级，从

0

∼

n

−

1

0\sim n-1

0∼n−1 编号，每个班级的学生人数上限是

a

i

a_i

ai​。有两种要求；同时，校长助理别里手魔

H

a

n

d

I

n

D

e

v

i

l

HandInDevil

HandInDevil 想要了解实时的信息，有两种询问方式：

1. （要求）

   l

   ,

   r

   ,

   c

   l,r,c

   l,r,c，对于

   i

   ∈

   [

   l

   ,

   r

   ]

   ,

   a

   i

   ←

   a

   i

   +

   c

   i\in[l,r],a_i\leftarrow a_i+c

   i∈[l,r],ai​←ai​+c

2. （要求）

   l

   ,

   r

   ,

   d

   l,r,d

   l,r,d，对于

   i

   ∈

   [

   l

   ,

   r

   ]

   ,

   a

   i

   ←

   ⌊

   a

   i

   d

   ⌋

   i\in[l,r],a_i\leftarrow \left\lfloor\frac{a_i}{d}\right\rfloor

   i∈[l,r],ai​←⌊dai​​⌋

3. （询问）给定

   l

   ,

   r

   l,r

   l,r，求

   min

   ⁡

   i

   ∈

   [

   l

   ,

   r

   ]

   a

   i

   \min_{i\in[l,r]}a_i

   mini∈[l,r]​ai​

4. （询问）给定

   l

   ,

   r

   l,r

   l,r，求

   ∑

   i

   ∈

   [

   l

   ,

   r

   ]

   a

   i

   \sum_{i\in[l,r]}a_i

   ∑i∈[l,r]​ai​

输入格式

第一行为两个空格隔开的整数

n

,

q

n,q

n,q 分别表示班级个数和要求 + 询问个数。
第二行包含

n

n

n 个由空格隔开的整数

a

0

∼

a

n

−

1

a_0\sim a_{n-1}

a0​∼an−1​
接下来

q

q

q 行，每行表示一个操作，第一个数表示操作编号

1

∼

4

1\sim4

1∼4，接下来的输入和问题描述一致。

输出格式

对于每个

3

,

4

3,4

3,4 操作，输出询问答案。

数据范围与提示

对于

100

%

100\%

100% 的数据，

1

≤

n

,

q

≤

1

0

5

,

0

≤

l

≤

r

≤

n

−

1

,

c

∈

[

−

1

0

4

,

1

0

4

]

,

d

∈

[

2

,

1

0

9

]

1\leq n,q\leq 10^5,0\leq l\leq r\leq n-1,c\in[-10^4,10^4],d\in[2,10^9]

1≤n,q≤105,0≤l≤r≤n−1,c∈[−104,104],d∈[2,109]

题解

是一道运用运算规律的题。

操作有区间加区间除，要维护区间和以及区间最小值。最难办的是区间除。

我们会发现，两个数同时除以大于 1 的数，他们的差会在大约

log

⁡

\log

log 次运算后

≤

1

\leq 1

≤1。因为下取整的原因，变为零很难做到，但是变为 1 可以很快。

如果一个区间最大值和最小值的差大于 1，那么就暴力递归下去，递归直到单点进行区间除，或者递归遇到一个极差小于等于 1 的区间时，进行下一步操作：

• 如果极差为 0 ，那么就是一个区间赋值了。
• 如果极差为 1，分情况讨论：若最大值和最小值除后下取整相等，那也是区间赋值，否则一定是最大值仍比最小值大 1 ，变化量相等，相当于区间加减。

我们在线段树上用

a

x

+

b

ax+b

ax+b 的形式表示懒标记，可以同时解决区间赋值和区间加减。

时间复杂度

O

(

n

log

⁡

2

n

)

\rm O(n\log^{_2}n)

O(nlog2​n) 。可以感性理解复杂度，也可以势能分析。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define eps (1e-4)
#define BI bitset<MAXN>
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) putchar('0');
	else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
	else putpos(x);
}
inline void AIput(LL x,char c) {
	putnum(x); putchar(c);
}
int n,m,s,o,k;
int A[MAXN];
struct it{
	LL s,lza,lzb,le;
	LL ma,mi;
	it(){s=le=0;lza=1;lzb=0;ma=mi=0;}
	it(LL nm) {
		s=ma=mi=nm; lza=1;lzb=0; le=1;
	}
}tre[MAXN<<2];
void update(int a) {
	int ls = a<<1,rs = a<<1|1;
	tre[a].s = tre[ls].s + tre[rs].s;
	tre[a].ma = max(tre[ls].ma,tre[rs].ma);
	tre[a].mi = min(tre[ls].mi,tre[rs].mi);
	tre[a].le = tre[ls].le + tre[rs].le;
	return ;
}
void maketree(int a,int l,int r) {
	tre[a] = it();
	if(l == r) {
		tre[a].s = A[l]; tre[a].le = 1;
		tre[a].ma = tre[a].mi = A[l];
		return ;
	}
	else {
		int mid = (l + r) >> 1;
		maketree(a<<1,l,mid); maketree(a<<1|1,mid+1,r);
		update(a);
	}return ;
}
void adda(int a,LL m,LL k) {
	tre[a].s *= m;
	tre[a].s += k*1ll*tre[a].le;
	tre[a].ma *= m; tre[a].mi *= m;
	tre[a].ma += k; tre[a].mi += k;
	tre[a].lza *= m; tre[a].lzb *= m;
	tre[a].lzb += k; return ;
}
void seta(int a,LL k) {
	tre[a].s = k*1ll*tre[a].le;
	tre[a].ma = tre[a].mi = k;
	tre[a].lza = 0; tre[a].lzb = k; return ;
}
void sdiva(int a,LL k) {
	LL Mx = tre[a].ma,Mi = tre[a].mi;
	if(Mx > Mi+1) return ;
	if(floor((DB)Mx/k) == floor((DB)Mi/k)) {
		seta(a,floor((DB)Mx/k));
	}
	else {
		LL mut = Mx - floor((DB)Mx/k);
		adda(a,1,-mut);
	}return ;
}
void pushdown(int a) {
	if(tre[a].lza != 1 || tre[a].lzb != 0) {
		adda(a<<1,tre[a].lza,tre[a].lzb);
		adda(a<<1|1,tre[a].lza,tre[a].lzb);
		tre[a].lza = 1; tre[a].lzb = 0;
	}return ;
}
void addtree(int a,int l,int r,int al,int ar,LL c) {
	if(l > r || al > r || ar < l) return ;
	if(al >= l && ar <= r) {
		adda(a,1,c); return ;
	}
	int mid = (al + ar) >> 1;
	pushdown(a);
	addtree(a<<1,l,r,al,mid,c);addtree(a<<1|1,l,r,mid+1,ar,c);
	update(a); return ;
}
void divtree(int a,int l,int r,int al,int ar,LL d) {
	if(l > r || al > r || ar < l) return ;
	if(al >= l && ar <= r && tre[a].ma <= tre[a].mi+1) {
		sdiva(a,d); return ;
	}
	if(al == ar) {
		tre[a] = it(floor((DB)tre[a].s/d)); return ;
	}
	int mid = (al + ar) >> 1;
	pushdown(a);
	divtree(a<<1,l,r,al,mid,d); divtree(a<<1|1,l,r,mid+1,ar,d);
	update(a); return ;
}
LL mintree(int a,int l,int r,int al,int ar) {
	if(l > r || al > r || ar < l) return (LL)1e18;
	if(al >= l && ar <= r) return tre[a].mi;
	int mid = (al + ar) >> 1;pushdown(a);
	return min(mintree(a<<1,l,r,al,mid),mintree(a<<1|1,l,r,mid+1,ar));
}
LL sumtree(int a,int l,int r,int al,int ar) {
	if(l > r || al > r || ar < l) return 0;
	if(al >= l && ar <= r) return tre[a].s;
	int mid = (al + ar) >> 1;pushdown(a);
	return sumtree(a<<1,l,r,al,mid) + sumtree(a<<1|1,l,r,mid+1,ar);
}
int main() {
	n = read();m = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		A[i] = read();
	}
	maketree(1,1,n);
	while(m --) {
		k = read();
		s = read()+1;o = read()+1;
		if(k == 1) {
			k = read();
			addtree(1,s,o,1,n,k);
		}
		else if(k == 2) {
			k = read();
			divtree(1,s,o,1,n,k);
		}
		else if(k == 3) {
			AIput(mintree(1,s,o,1,n),'\n');
		}
		else AIput(sumtree(1,s,o,1,n),'\n');
	}
	return 0;
}