浅谈$\mathcal{LCT}$初步使用及具体操作

$0x01$ 闲话 · $LCT$的用途以及具体思路

$LCT$是啥？百度一下的话……貌似是一种检查妇科病的东西？Oier的口味可是真不一般啊

咳，其实在我最近只是浅浅地学了一部分的基础上，窝觉得$LCT$其实就是一个用来维护森林连通性的。

嗯……因为其独特的性质所以也可以顺便维护好多东西，什么链上的最大值啊，链上的权值和啊……都可以维护——或者说，$LCT$是更加全能的树剖。

但其实吧……$LCT$打板子是很简单的，但是真正理解却一点儿也不简单。

因为本身$splay$就很麻烦了，况且$splay$之前一直用于维护数列。

要知道，此处的$splay$可是作为辅助树，维护一整个森林，并且可以支持序列中几乎全部操作——这就大大增高了理解难度。举个例子，你曾经认为已经难以理解、或者说不可以做的、比较复杂的区间翻转$Luogu3391$，在$LCT$里面有十分全面的涉及，但是被精简到了只有两行是用来描述这个内容的。

显而易见的是，$LCT$虽然常数十分的大，但代码十分的短，比一棵完整的平衡树短了不少（亲测$50+$行），与$FFT$（快速傅里叶变换）一样具有着华丽的可观赏性，但是隐藏在之后的思维难度同样不可小觑。

也就是说我们是不是学的太草率、太浮躁了呢？快餐式地学完$LCT$，网上的每一篇博客都包教包会。

但是我今天要整理的，是对于$LCT$真正的理解。希望各位看到这篇拙作的人可以获得一些什么。

$0x02$ 闲话 · 关于$splay$

道理我都懂，要想动态拆删一些东西，辅助树的形态可以改变是先决条件。看上去平衡树好像是个不错的选择，但是，选哪个作为辅助树呢？后宫佳丽三千我该翻谁的牌子呢$qwq$

历史的重任最后落到了$splay$的身上。然后$splay$他居然傲娇了：

……

好吧，由于某些神犇也不知道的原因，如果不用$splay$的话，复杂度是均摊$O(nlog2n)$, 而用$splay$就可以做到均摊$O(nlogn)$ ……但事实上，$splay$确实有他独特的性质，比如旋转到根啊之类的，比起其他种类的平衡树而言，更加适合$LCT.$

$0x03$ $LCT$的思路和基础操作

一主要思路

主要思路嘛……

****大概是基于实链剖分的操作。

朴素的树剖是重链剖分，大体上就是将整棵树的链划分为轻边和重链，运用巧妙的性质做到$log$级别。而遗憾的是$LCT$维护的是森林的连通性，所以只能采用实链剖分。

而实链剖分大体上就是把边分为虚边和实边。其中实边串联起一个联通块，同一组实边存在、且仅存在于一棵$splay$中。$splay$和$splay$之间由虚边相连。

实链剖分的好处呢？在于实链剖分是一种动态剖分，他可以随意改变边的虚实属性。而显然，重链剖分由于有着足够的理论依据和逻辑推演，所以轻重链是难以更改，或者说，不可更改的。$So$，实链剖分为动态树的动态打下了基础。

那么接下来我们来看一个$LCT$是如何定义的:

首先，一棵$LCT$管控的是一对分散的点，点以几棵分散的splaysplay的形式聚集。起初整棵LCTLCT是没有任何联系的，各自为战，各自为根。我们接下来会看到的$access$、$makeroot$等操作，都是在自己的联通块儿内部进行的操作。换句话讲，$LCT$维护的是有根森林，即组成森林的每个联通块都有其唯一的根。

实边串联起一个联通块，同一组实边存在、且仅存在于一棵splaysplay中。splaysplay和splaysplay之间由虚边相连。只有实边是有效的，虚边可以被认为不存在。但是两种边都没有用到显式存储，都是通过$splay$中的$Son$数组和$Fa$数组访问的。但虚边和实边的存储有区别：

虚边是认父不认子，即如果$Fa[x]==y$，那么$y$不存$x$这个儿子，但是$x$存$y$这个父亲。这样做是为了可以$Access$——因为其实在$Access$的子函数$splay$里，发挥作用的实际上是$Fa$指针。

实边是完整的双向存储。

$splay$中维护的是一条从存储上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历$splay$得到的每个点的深度序列严格递增。换句话讲，一个$splay$里面不会出现在原联通块儿（树）中深度相同的两个点。在一棵$splay$中，键值就是原树中的深度。

如果$x$是它所在$splay$的最左边的点，那么它在原森林里的父亲是$x$所在$splay$的根的$fa$, 否则就是$x$在$splay$上的前驱.

待更$……$